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ガロア生誕200周年記念スレ part 6

1 :132人目の素数さん:2012/02/23(木) 09:04:21.71
2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日

Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません(たとえそれが励ましの言葉であっても)。

2 :132人目の素数さん:2012/02/23(木) 09:06:11.54
過去スレpart5の855と856の修正

命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
E_1、...、E_n を L/K の中間体(過去スレpart4の854)で、
各 E_i/K は正規拡大(過去スレpart4の844)であるとする。
各 i = 1、...、n に対して E_1、...、E_i の合成体(>>298)を F_i とする。
各 i = 1、...、n - 1 に対して E_(i+1) ∩ F_i = K とする。

このとき F_n/K は正規拡大であり、
Aut(F_n/K)(過去スレpart4の847)は Aut(E_1/K)×...×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。

証明
n に関する帰納法を使う。
過去スレpart5の337より各 F_i/K は正規拡大である。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より Aut(F_(n-1)/K) は Aut(E_1/K)×...×Aut(E_(n-1)/K) に位相群として同型である。
一方、過去スレpart5の339より Aut(F_n/K) は Aut(E_n/K)×Aut(F_(n-1)/K) に位相群として同型である。
よって、Aut(F_n/K)は Aut(E_1/K)×...×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。
証明終

3 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 09:30:09.45
過去スレpart5の855と856の修正

命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
E_1、...、E_n を L/K の中間体(過去スレpart4の854)で、
各 E_i/K は正規拡大(過去スレpart4の844)であるとする。
各 i = 1、...、n に対して E_1、...、E_i の合成体(過去スレpart5の298)を F_i とする。
各 i = 1、...、n - 1 に対して E_(i+1) ∩ F_i = K とする。

このとき F_n/K は正規拡大であり、
Aut(F_n/K)(過去スレpart4の847)は Aut(E_1/K)×...×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。

証明
n に関する帰納法を使う。
過去スレpart5の337より各 F_i/K は正規拡大である。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より Aut(F_(n-1)/K) は Aut(E_1/K)×...×Aut(E_(n-1)/K) に位相群として同型である。
一方、過去スレpart5の339より Aut(F_n/K) は Aut(E_n/K)×Aut(F_(n-1)/K) に位相群として同型である。
よって、Aut(F_n/K)は Aut(E_1/K)×...×Aut(E_n/K) に位相群として同型である。
証明終

4 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 09:31:29.94
過去スレpart5の858の修正

命題
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
(E_i)、i ∈ I を L/K の中間体(過去スレpart4の854)の族とする。
各 E_i/K は正規拡大(過去スレpart4の844)であるとする。
I の部分集合 J に対して (E_j)、j ∈ J の合成体(過去スレpart4の298)を F_J とする。

以下の条件が成り立つとする。

(1)L = F_I、即ち L は (E_i)、i ∈ I の合成体である。

(2)I の任意の有限部分集合 J と任意の i ∈ I - J に対して E_i ∩ F_J = K

このとき L/K は正規拡大であり、
Aut(L/K)(過去スレpart4の847)は ΠAut(E_i/K) に位相群として同型である。

証明
過去スレpart5の857より、 L/K は正規拡大である。
過去スレpart5の242より、各 i ∈ I に対して Aut(L/K) の各元を E_i に制限することにより
連続準同型 f_i:Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。
よって、族 (f_i)、i ∈ I は連続準同型 f:Aut(L/K) → ΠAut(E_i/K) を定める。
Aut(L/K) はコンパクトであるから過去スレpart5の74より f が全単射であることを示せば良い。
L は (E_i)、i ∈ I の合成体であるから f は単射である。
よって、f が全射であることを示せば良い。

(続く)

5 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 09:32:02.29
>>4の続き

σ = (σ_i) を ΠAut(E_i/K) の任意の元とする。
σ の任意の近傍を U とする。
I の有限部分集合 J があり V_J = {(τ_i) ∈ ΠAut(E_i/K); 各 j ∈ J に対して τ_j = σ_j} ⊂ U
となる。
>>3より F_J/K は正規拡大であり、 Aut(F_J/K)は Π[j ∈ J] Aut(E_j/K) に位相群として同型である。
よって、τ_J ∈ Aut(F_J/K) で τ_J の各 E_j、j ∈ J への制限が σ_j となるものが存在する。
過去スレpart4の887より τ ∈ Aut(L/K) で τ の F_J への制限が τ_J となるものが存在する。
f(τ) ∈ V_J である。
よって、f(Aut(L/K)) は ΠAut(E_i/K) において密である。
一方、Aut(L/K) は準コンパクト(過去スレpart5の64)であるから
過去スレpart5の71より f(Aut(L/K)) は準コンパクトである。
ΠAut(E_i/K) は Hausdorff であるから過去スレpart5の69より f(Aut(L/K)) は閉集合である。
よって、f(Aut(L/K)) = ΠAut(E_i/K) である。
証明終

6 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 17:49:28.84
定義
S を集合とする。
S から S への全単射全体は写像の合成で群となる。
この群を S 上の対称群と呼び Sym(S) と書く。

7 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 17:57:02.35
定義
S を集合とする。
Sym(S)(>>6)の元を S 上の置換と呼ぶ。
Sym(S) の部分群 G を S 上の置換群と言う。
このとき S は忠実(過去スレpart5の843)な G-集合(過去スレpart5の77)となる。
逆に忠実な G-集合 X は X 上の置換群と見なされる。

8 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 18:10:51.50
定義
K を可換体とする。
L/K を拡大(過去スレpart4の512)とする。
S を L の部分集合で K 上代数的独立(過去スレpart5の7)であるとする。
L = K(S)(過去スレpart4の539)となるとき L を K 上の純超越拡大体
または L/K は純超越拡大であるとも言う。
このとき L は S を不定元の集合とする K 上の有理関数体とも言う。

S = {X_1、...、X_n} のとき
K(S) = K(X_1、...、X_n) は K 上の n 変数の有理関数体とも言う。

9 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 18:21:23.15
命題
K を可換体とする。
S を任意の集合とする。
このとき S を不定元の集合とする K 上の有理関数体 K(S)(>>8)が
K-同型(過去スレpart4の514)を除いて一意に存在する。

証明
S を不定元の集合とする K 上の多項式環 K[S] の存在は良く知られている。
K[S] の商体が K(S) である。
K(S) が K-同型を除いて一意であることは K[S] が K-同型を除いて一意であることから明らかである。
証明終

10 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 18:37:03.11
命題
S を集合とする。
G を S 上の置換群(>>7)とする。
K を可換体とする。
このとき G は Aut(K(S)/K) の部分群と見なされる。

証明
K(S) の任意の元 r は r = f(s_1、...、s_n)/g(s_1、...、s_n) と書ける。
ここで s_1、...、s_n は S の元の列であり、
f(s_1、...、s_n) と g(s_1、...、s_n) は K[s_1、...、s_n](過去スレpart4の539) の元である。σ ∈ G のとき σ(r) = f(σ(s_1)、...、σ(s_n))/g(σ(s_1)、...、σ(s_n)) と定義すればよい。
この定義が矛盾なく行えることと、
この定義により G が Aut(K(S)/K) の部分群と見なされることは明らかである。
証明終

11 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 18:48:34.21
定義
G を群とする。
G の単位群を e とする。
H = {e} とおく。
G は G の H による左剰余類全体の集合 G/H と同一視される。
よって、過去スレpart5の108より G は推移的(過去スレpart5の107)な G-集合となる。
このとき G は忠実(過去スレpart5の843)な G-集合である。
よって、忠実な表現(過去スレpart5の843)G → Sym(G)(>>6)が得られる。
この表現を G の正則表現と呼ぶ。
このとき G は G 上の置換群(>>7)と見なされる。

12 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 18:49:47.19
>>11
>G の単位群を e とする。

G の単位元を e とする。

13 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/23(木) 18:57:41.34
命題
(G_i)、i ∈ I を群の族とする。
G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。
各 i ∈ I に対して S_i を (G_i)-集合(過去スレpart5の77)とする。
S = ΣS_i を族 (S_i)、i ∈ I の直和集合とする。
σ = (σ_i) ∈ G と x ∈ S_i に対して σx = (σ_i)x と定義することにより
S は G-集合となる。
このとき、各 S_i が忠実(過去スレpart5の843)な (G_i)-集合であれば S は忠実な G-集合である。

証明
自明である。

14 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 00:21:40.79

>1 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2012/02/23(木) 09:04:21.71
>
>2 名前:132人目の素数さん[] 投稿日:2012/02/23(木) 09:06:11.54

スレ立てから2分後に書き込みか。やはり糞スレ立ててるのは、クマ自身かw

15 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 01:50:55.64
何がおかしいのか意味不明

16 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 01:55:08.98
当然俺が今まで全部スレ立てしてる。
そうでないと思ってたのか?
www

17 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 01:57:56.38
話は変わるが逮捕厨はどこ行った?
www

18 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 09:08:58.35
>>16
ただ書き込んでるだけで虚しくないかw

19 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 10:34:27.88
自分に引き付けてるなw
何かをコピッてるなら空しいだろうが全部再構成してる。
特に今やってるとこ(Galois拡大の構成)は面白い。
このあたり普通の教科書では扱ってない。

20 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/24(金) 12:08:27.66
補題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の848)とする。
E を L/K の中間体(過去スレpart4の854)とする。
T を Aut(L/K)(過去スレpart4の847)の有限部分集合とする。
任意の σ ∈ Aut(L/K) と任意の x ∈ E に対して σ(x) = τ(x) となる τ ∈ T があるとする。
このとき [E : K] ≦ |T| である。
ここで |T| は T の要素の個数である。

証明
任意の x ∈ E に対して x の K 上の最小多項式(過去スレpart4の554)を f(X) とする。
f(X) の L における根の集合を S とする。
x ∈ S であるから任意の τ ∈ T に対して τ(x) ∈ S である。
逆に任意の y ∈ S に対して過去スレpart4の613より
K-同型(過去スレpart4の514)ρ:K(x) → K(y) で ρ(x) = y となるものが存在する。
過去スレpart4の887より σ ∈ Aut(L/K) で ρ の拡張であるものが存在する。
仮定より σ(x) = τ(x) となる τ ∈ T がある。
σ(x) = ρ(x) であるから y = τ(x)
よって、S = {τ(x);τ ∈ T} である。
よって、|S| ≦ |T| である。
よって、f(X) の次数は |T| 以下である。
E/K は分離代数的(過去スレpart4の843)だから過去スレpart1の434より [E : K] ≦ |T| である。
証明終

21 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/24(金) 15:26:01.66
次の命題の証明はやや長いのでいくつかのステップに別けて証明する。

命題
(G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。
G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。
このとき、ある可換体 K と Galois拡大(過去スレpart4の848)L/K が存在し
G は Aut(L/K)(過去スレpart4の847)と同型になる。
このとき K の標数(過去スレpart4の667)は任意に取れる。

22 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/24(金) 15:49:11.28
命題
(G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。
G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。
各 i に対して忠実(過去スレpart5の843)な (G_i)-集合(過去スレpart5の77)S_i が存在する。
例えば S_i として G_i を取り G_i の正則表現をとればよい(>>11)。
S = ΣS_i を族 (S_i)、i ∈ I の直和集合とする。
>>13より S は忠実な G-集合(過去スレpart5の77)となる。
k を任意の可換体とする。
>>9より S を不定元の集合とする k 上の有理関数体 k(S)(>>8)が存在する。
L = k(S) とおく。
>>10より G は Aut(L/k) の部分群と見なされる。
K = {x ∈ L;各σ ∈ G に対して σ(x) = x } とおく。
このとき L/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。

証明
L は G-集合と見なされる。
x を L の任意の元とする。
過去スレpart5の848より x の軌道(過去スレpart5の92)O(x) = {σ(x); σ ∈ G} が
有限集合であることを示せば良い。
各 i ∈ I に対して G_i は G の部分群と見なされる。
I の有限部分集合 J があり x ∈ k(∪{S_j;j ∈ J}) となる。
σ = (σ_i) を G = ΠG_i の任意の元とする。
J = {j_1、...、j_n} のとき σ(x) = σ_(j_1)...σ_(j_n)(x) となる。
よって、|O(x)| ≦ Π[i ∈ J] |G_j| である。
ここで |O(x)| と各 |G_j| はそれぞれ O(x) と G_j の集合としての濃度を表す(過去スレpart1の180)。
各 G_j は有限群であるから |O(x)| は有限である。
証明終

23 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/24(金) 16:01:13.13
命題
>>22と同じ状況を仮定する。
x_1、...、x_n を L の元とする。
このとき、Aut(L/K) の任意の元 σ に対して
σ(x_1) = τ(x_1)、...、σ(x_n) = τ(x_n) となる τ ∈ G が存在する。

証明
Galois理論の基本定理(過去スレpart5の288)より Aut(L/K) = G~ である。
ここで G~ は G の閉包である。
即ち G は Aut(L/K) で密である。
U(σ;x_1、...、x_n) = {τ ∈ Aut(L/K);σ(x_1) = τ(x_1)、...、σ(x_n) = τ(x_n)} とおく。
過去スレpart5の216より U(σ;x_1、...、x_n) は σ の開近傍である。
G は Aut(L/K) で密であるから
σ(x_1) = τ(x_1)、...、σ(x_n) = τ(x_n) となる τ ∈ G が存在する。
証明終

24 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/24(金) 16:05:58.04
命題
>>22と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して G_i の固定体(過去スレpart4の863)を F_i とする。
即ち F_i = {x ∈ L;各 σ ∈ G_i に対して σ(x) = x }
このとき F_i/K は正規拡大(過去スレpart4の844)である。

証明
過去スレpart4の865と876より、
任意の σ ∈ Aut(L/K) と任意の x ∈ F_i に対して σ(x) ∈ F_i を示せば良い。
各 i ∈ I に対して G_i は G の部分群と見なされる。
このとき i ≠ j なら G_i と G_j の各元は可換であることに注意する。
よって、各 G_i は G の正規部分群である。
>>23から σ(x) = σ’(x) となる σ’∈ G がある。
G_i は G の正規部分群だから任意の τ ∈ G_i に対して τσ’= σ’τ’となる τ’∈ G_i がある。
よって、τσ(x) = τσ’(x) = σ’τ’(x) = σ’(x) = σ(x)
よって、σ(x) ∈ F_i である。
証明終

25 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/02/24(金) 16:24:47.86
命題
>>22と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して G_i の固定体(過去スレpart4の863)を F_i とする。
即ち F_i = {x ∈ L;各 σ ∈ G_i に対して σ(x) = x }
各 i ∈ I に対して E_i = ∩{F_j; j ∈ I - {i}} とおく。
このとき [E_i : K] ≦ |G_i| である。

証明
>>23から任意の σ’∈ Aut(L/K) と任意の x ∈ E_i に対して σ’(x) = σ(x) となる σ ∈ G がある。
σ = (σ_k) ∈ G = ΠG_k とする。
>>22の証明より I の有限部分集合 J = {j_1、...、j_n} で i ∈ J となるものがあり
σ(x) = σ_(j_1)...σ_(j_n)(x) となる。
仮定より各 j ∈ I - {i} に対して σ_j(x) = x である。
k ≠ j なら G_k と G_j の各元は可換であるから
σ’(x) = σ(x) = σ_(j_1)...σ_(j_n)(x) = σ_i(x)
よって、>>20より [E_i : K] ≦ |G_i| である。
証明終

26 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 23:14:57.94
>>19
>何かをコピッてるなら空しいだろうが全部再構成してる。
それが自慢なのかw 誰も気付いてくれないようだが。
しょせん自己満足。虚しいのうw

27 :132人目の素数さん:2012/02/24(金) 23:38:51.07
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
     /   /:::::/           \
     /    /::::::/          | | |  |
     |   |:::::/ /     |  | | | |  |
      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
   |      |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、  ヒニ二、 \
.   |      /::::::::::::::::::|::::::::\/:::O`、::\   | '、   \
   |      /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ  ヽ、  |
  |      |:::::/:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'、',::::'、  /:\__/‐、
  |      |/:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::O::| '、::| く::::::::::::: ̄|
   |     /_..-'´ ̄`ー-、:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::\;;;;;;;_|
   |    |/::::::::::::::::::::::\:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
    |   /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/

28 :132人目の素数さん:2012/02/25(土) 17:23:22.96
 ( フェルマー予想が成立するための十分条件が、
      ,' /       ,ヽ   `、 `</':, ':, ( 志村ー谷山予想が成立することですわ。さくらちゃん
     ,''´    ':,    ';,゙:、   ';,  ゙、  ';, ',(
    ,'.       }; !  ',',|゙、  l゙,   !  |', !  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄l/ ̄ヽ ヽ、 ̄':, ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
    !.     |   |l |;  | ! ,l  N  |  ,' |l .,'              ゙、  \ ',
   , | |  .,'|  レl ,'.l ,'   ! / } / / './     ,:'   ,.,          ',_..-''" !
   ! | !  .,' レ/ |/ |.,:'   ノ"_ ",'/ ,〃    ,,;''   .,','           } }   !
   | | ,'| ,,/イ, ' ´ '´   ,;:=::ッ1}-;==;;;;;;;; '∠_  ,:'/     , ,    |,'   !
 l  ',',.レ!./ ノ' _.......     ´   | |     ̄`゙゙゙゙" ̄'´'、_    ,':,'  , ,'    !
  !  ',', l' _,;;:'''"゙゙゙`           l lヾ:、 ..___      `ミ;;、 /:/   ,'.,'   |
  ', ', ゙;、 ブ´ .....:::::     '   ,ィ j ...`゙゙'==          `ヾ、<.  ,:',:'    !
 ', ', ':, ',` U ::::     、:::ァ'  /!| j ::::::::...       ,、ヽ._   `>ン'´    |
  ';, ':, ':, ヽ.._u       /ィ !レ、         ....ヾ::、、 ,イ〃      |
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   ̄ ̄ ヾ;、 __∧__ノ'_____`ヽ〈___`ヽ、_________|_|_______l__
       `(
.         (  ほえ〜 さくら、算数とフェラが苦手だからわからないよ……フェラの仕方も教えて

29 :132人目の素数さん:2012/03/01(木) 12:37:40.95
>>27 俺は只の数ヲタなんかとは付き合わンな。

頭が良くて数学が出来てかっこいいヤツ。それが十分条件。
さらに arXiv math に論文だせば必要条件にもなる。
俺、一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
良い論文の出版を遅らせるお馬鹿なヤツ。


30 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 08:33:30.01
命題
>>25と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して E_i/K は正規拡大(過去スレpart4の844)であり、
Aut(E_i/K)(過去スレpart4の847)は G_i に同型である。

証明
各 i ∈ I に対して E_i = ∩{F_j; j ∈ I - {i}} であり、
>>24より各 F_i/K は正規拡大である。
よって、E_i/K は正規拡大である。

過去スレpart5の242より、各 i ∈ I に対して Aut(L/K) の各元を E_i に制限することにより
連続準同型 f_i:Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。
f_i を G_i に制限した写像を g_i:G_i → Aut(E_i/K) とする。
g_i が全単射であることを示せば良い。
過去スレpart4の887より f_i は全射である。
よって、任意の ρ ∈ Aut(E_i/K) に対して σ’∈ Aut(L/K) で σ’の E_i への制限が
ρ と一致するものが存在する。
>>25より E_i/K は有限次拡大である。
L/K は分離的(過去スレpart4の843)だから E_i/K も分離的である。
よって、原始要素の定理(過去スレpart1の335)より E_i = K(θ) となる θ がある。
>>25の証明より σ’(θ) = σ_i(θ) となる σ_i ∈ E_i がある。
一方、σ’(θ) = ρ(θ) だから σ_i(θ) = ρ(θ) である。
よって、σ_i の E_i への制限は ρ と一致する。
即ち、g_i(σ_i) = ρ である。
よって、g_i:G_i → Aut(E_i/K) は全射である。

>>22の記号で S_i の各元は j ≠ i のとき G_j で不変であるから S_i ⊂ E_i である。
τ ≠ 1 を G_i の元とする。
τ ≠ 1 だから S_i の元 s で τ(s) ≠ s となるものが存在する。
よって、g_i(τ) ≠ 1 である。
よって、g_i は単射である。
証明終

31 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 08:35:16.90
補題
X を位相空間とする。
A と B を X の部分集合で B ⊂ A とする。
B の X における閉包を B~ とする。
このとき B~ ∩ A は部分空間 A における B の閉包である。

証明
A における B の閉包を B’とする。
B ⊂ B~ ∩ A であり B~ ∩ A は A の閉集合であるから B’⊂ B~ ∩ A である。
逆の包含関係を示せば良い。
x ∈ B~ ∩ A のとき x ∈ B’を示せば良い。
V を x の A における任意の開近傍とする。
V = U ∩ A となる X の開集合がある。
x ∈ B~ で x ∈ U だから U ∩ B ≠ φ である。
U ∩ B = U ∩ A ∩ B = V ∩ B だから V ∩ B ≠ φ である。
よって、x ∈ B’である。
証明終

32 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 08:40:52.01
命題
>>25と同じ状況を仮定する。
このとき L は (E_i)、i ∈ I の合成体である。

証明
(E_i)、i ∈ I の合成体を E とする。
Galois理論の基本定理(過去スレpart5の288)より Aut(L/E) = {1} を示せば良い。
先ず G ∩ Aut(L/E) = {1} を示す。
σ ∈ G ∩ Aut(L/E) とする。
σ ∈ G = ΠG_i だから σ = (σ_i)、i ∈ I と書ける。
>>25の証明より、各 i ∈ I と任意の x ∈ E_i に対して σ(x) = σ_i(x) となる。
σ ∈ Aut(L/E) だから σ_i(x) = x である。
よって、σ_i の E への制限は E の恒等写像である。
よって、>>30より σ_i = 1 である。
よって、σ = 1 である。
よって、G ∩ Aut(L/E) = {1} である。

Aut(L/K) = G~ だから>>31より G~ ∩ Aut(L/E) = Aut(L/E) は
G ∩ Aut(L/E) = {1} の Aut(L/E) における閉包である。
よって、Aut(L/E) = {1} である。
証明終

33 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 08:43:37.06
命題
>>25と同じ状況を仮定する。
このとき K = ∩{F_i; i ∈ I} である。

証明
任意の σ ∈ G と任意の x ∈ ∩{F_i; i ∈ I} に対して σ(x) = x を示せば良い。
σ ∈ G = ΠG_i だから σ = (σ_i)、i ∈ I と書ける。
ここで、各 σ_i ∈ G_i である。
>>22の証明より I の有限部分集合 J = {j_1、...、j_n} があり
σ(x) = σ_(j_1)...σ_(j_n)(x) となる。
よって、σ(x) = x である。
証明終

34 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 08:46:34.76
命題
>>25と同じ状況を仮定する。
I の部分集合 J に対して (E_j)、j ∈ J の合成体(過去スレpart4の298)を E_J とする。
このとき I の任意の有限部分集合 J と任意の i ∈ I - J に対して E_i ∩ E_J = K である。

証明
j ∈ J のとき E_j ⊂ F_i である。
よって、E_J ⊂ F_i である。
任意の k ∈ I - {i} に対して E_i ⊂ F_k である。
よって、全ての k ∈ I に対して E_i ∩ E_J ⊂ F_k である。
よって、>>33より E_i ∩ E_J = K である。
証明終

35 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 08:49:22.08
命題
>>22と同じ状況を仮定する。
このとき Aut(L/K) は ΠAut(E_i/K) に位相群として同型である。

証明
>>32>>34>>4より明らかである。

36 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 08:51:56.55
命題
(G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。
G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。
各 i ∈ I に対して G_i に離散位相を与えて G = ΠG_i を位相群と見なす。
このとき、ある可換体 K と Galois拡大(過去スレpart4の848)L/K が存在し
G は Aut(L/K)(過去スレpart4の847)と位相群として同型になる。
このとき K の標数(過去スレpart4の667)は任意に取れる。

証明
>>35>>30より明らかである。

37 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 08:54:40.07
命題
>>22と同じ状況を仮定する。
各 i ∈ I に対して G_i に離散位相を与えて G = ΠG_i を位相群と見なす。
このとき Aut(L/K) は G と位相群として一致する。

証明
過去スレpart5の242より、各 i ∈ I に対して Aut(L/K) の各元を E_i に制限することにより
連続準同型 f_i:Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。
族 (f_i)、i ∈ I は連続準同型 f:Aut(L/K) → ΠAut(E_i/K) を引き起こす。
>>35より f は位相群としての同型である。
f を G の制限した写像を g:G → ΠAut(E_i/K) とする。
各 i ∈ I に対して g を G_i に制限した写像を g_i:G_i → ΠAut(E_i/K) とする。
Aut(E_i/K) を ΠAut(E_i/K) の部分群と同一視したとき g_i(G) = Aut(E_i/K) である。
>>30より g_i:G_i → g_i(G) = Aut(E_i/K) は同型である。
よって、g:G → ΠAut(E_i/K) は全単射である。
ι:G → Aut(L/K) を包含写像とする。
fι = g である。
g は全射だから任意の σ ∈ Aut(L/K) に対して f(σ) = g(τ) となる τ ∈ G がある。
fι = g より f(σ) = f(ι(τ)) である。
f は単射だから σ = ι(τ) である。
よって、ι は全射である。
よって、Aut(L/K) = ι(G) = G である。
よって、f = g である。
f = g:G → ΠAut(E_i/K) は位相群としての同型であるから
Aut(L/K) の部分群としての G の位相は (G_i)、i ∈ I の直積としての位相に一致する。
証明終

38 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 08:56:25.95
命題
G を任意の副有限群(過去スレpart5の705)とする。
有限離散群(過去スレpart5の712)の族 (G_i)、i ∈ I があり
G は ΠG_i の閉部分群と位相群として同型である。

証明
G の開正規部分群全体を Ψ とする。
過去スレpart5の706より G = lim[H ∈ Ψ] G/H である。
過去スレpart3の494より G は Π[H ∈ Ψ] G/H の閉部分群と見なされる。
過去スレpart5の711より各 G/H は有限な離散群(過去スレpart5の712)である。
証明終

39 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 09:01:26.44
命題
G を任意の副有限群(過去スレpart5の705)とする。
このとき、ある可換体 K と Galois拡大(過去スレpart4の848)L/K が存在し
G は Aut(L/K)(過去スレpart4の847)と位相群として同型になる。
このとき K の標数(過去スレpart4の667)は任意に取れる。

証明
>>38より、有限離散群(過去スレpart5の712)の族 (G_i)、i ∈ I があり
G は G’= ΠG_i の閉部分群と見なされる。
>>36より、ある可換体 F と Galois拡大 L/F が存在し
G’は Aut(L/F) と位相群として同型になる。
このとき F の標数は任意に取れる。
G’と Aut(L/F) をこの同型で同一視したときの G の固定体(過去スレpart4の863)を K とする。
Galois理論の基本定理(過去スレpart5の288)より Aut(L/K) = G である。
証明終

40 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 09:29:24.76
任意の有限群 G は副有限群であるから>>39より G はあるGalois拡大のGalois群と同型になる。
しかし、この事実は次のように簡単に証明出来る。

命題
G を任意の有限群とする。
このとき、ある可換体 K と Galois拡大(過去スレpart4の848)L/K が存在し
G は Aut(L/K)(過去スレpart4の847)と同型になる。
このとき K の標数(過去スレpart4の667)は任意に取れる。

証明
忠実(過去スレpart5の843)な G-集合(過去スレpart5の77)S を任意にとる。
例えば S として G をとり G の正則表現をとればよい(>>11)。
k を任意の可換体とする。
>>9より S を不定元の集合とする k 上の有理関数体 k(S)(>>8)が存在する。
L = k(S) とおく。
>>10より G は Aut(L/k) の部分群と見なされる。
K = {x ∈ L;各σ ∈ G に対して σ(x) = x } とおく。
Artinの定理(過去スレpart1の438)より L/K はGalois拡大で G = Aut(L/K) である。
証明終

41 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 13:09:39.54
>>40から次の問題が自然に浮かぶ。

[与えられた可換体上のGaloisの逆問題]
有限群 G と可換体 K を任意に与えたときに Galois拡大(過去スレpart4の848)L/K で
G が Aut(L/K)(過去スレpart4の847)と同型になるようなものが存在するか?

この問題は K が素体(過去スレpart4の667)の時が最も重要である。
K が有限体(過去スレpart4の681)であれば後で示すように G としては巡回群しか有りえない。
よって、K が有理数体の場合が問題になる。

この問題は現在のところ未解決であるが種々の結果が知られている。
例えば G が次の場合は上の問題は肯定的である。
・対称群(Hilbert 1892)
・交代群(Hilbert 1892)
・可解群(Shafarevich 1954, 訂正 1989)
・Mathieu 群 M23 を除く25個の散在単純群(Matzat et al 1986, the Monster group Thompson 1984)

42 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 14:40:12.23
>>41
Shafarevichの結果は35年経ってから間違いが訂正された。
これで思い出されるのは有理数体上の任意のアーベル拡大は円分体に含まれるというKronecker-Weberの定理。
これはKroneckerにより1853年に予想されWeberにより1886年に証明された(と思われていた)。
しかし、(100年近く経ってから)1981年にNeumannによりWeberの証明の誤りが指摘され修正された。
因みにHilbertはWeberとは異なる方法により1896年にこの定理を証明している。

43 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 14:49:13.26
>>41の年表を見るとGaloisの逆問題に関してHilbertによる最初の発見から100年近く経ってから
急激な進歩があったことが分かる。
これは有限単純群の分類が1985年頃に完成したことと関係があるだろう。

44 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 16:40:16.37
命題
K を可換体とする。
E/K と F/K を拡大(>>90)とする。
σ:E → F を K-同型(過去スレpart4の514)とする。
E_s と F_s をそれぞれ K の E と F における相対分離的閉包(過去スレpart4の890)とする。
このとき σ は K-同型 σ’:E_s → F_s を引き起こす。

証明
任意の α ∈ E_s に対して α の K 上の最小多項式(過去スレpart4の557)を f(X) とする。
f(α) = 0 だから σ(f(α)) = f(σ(α)) = 0
よって、σ(α) の K 上の最小多項式を g(X) とすれば f(X) は g(X) で割り切れる。
τ:F → E を σ の逆写像とする。
g(σ(α)) = 0 だから τ(g(σ(α))) = g(α) = 0
よって、g(X) は f(X) で割り切れる。
f(X) と g(X) はモニック(過去スレpart1の115)だから f(X) = g(X) である。
よって、f(X) は σ(α) の K 上の最小多項式である。
α は K 上分離的(過去スレpart4の841)だから f(X) は分離的(過去スレpart4の694)である。
よって、σ(α) ∈ F_s である。
よって、σ(E_s) ⊂ F_s である。

τ は K-同型であるから上記と同様に τ(F_s) ⊂ E_s である。
よって、任意の β ∈ F_s に対して α = τ(β) とすれば α ∈ E_s であり σ(α) = β である。
よって、σ(E_s) = F_s となり σ の E_s への制限は K-同型 σ’:E_s → F_s を引き起こす。
証明終

45 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 16:45:23.25
定義
K を可換体とする。
過去スレpart4の636より K は代数的閉包(過去スレpart4の634)K~ を持つ。
K の K~ における相対分離的閉包(過去スレpart4の890)を K の分離代数的閉包と言う。
過去スレpart4の648より K の代数的閉包は K-同型(過去スレpart4の514)を除いて一意に定まる。
よって、>>44より K の分離代数的閉包は K-同型を除いて一意に定まる。

46 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 17:14:25.97
命題
K を可換体とする。
L/K を正規拡大(過去スレpart4の844)とする。
K の L における相対分離的閉包(過去スレpart4の890)を L_s とする。
このとき L_s/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)であり Aut(L_s/K)(過去スレpart4の847)は
Aut(L/K) に位相群として同型である。

証明
K の L における相対純非分離閉包(過去スレpart5の334)を K~ とする。
過去スレpart5の361より以下が成り立つ。
(1) L_s/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。
(2) L は K~ と L_s の合成体(>>298)である。
(3) K = K~ ∩ L_s

よって、過去スレpart5の335より、Aut(L_s/K) は Aut(L/K~) に位相群として同型である。
一方、正規拡大に関するGaloisの基本定理(過去スレpart5の282)より Aut(L/K~) = Aut(L/K) である。
証明終

47 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 17:22:34.29
定義
K を可換体とする。
K の代数的閉包(過去スレpart4の634)を K~ とする。
K の分離代数的閉包(>>45)を K^sep とする。
>>46より K^sep/K はGalois拡大であり G = Aut(K^sep/K) は Aut(K~/K) に位相群として同型である。
K^sep/K を K の絶対Galois拡大と言い、G を K の絶対Galois群と呼ぶ。

48 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/03(土) 17:43:52.28
K を可換体とする。
K の絶対Galois拡大(>>47)K^sep/K は>>45より K が定まれば K-同型を除いて一意に定まる。
K^sep は K の分離代数的拡大、特にGalois拡大を K-同型を除いて全て含む。
よって、Galois理論の基本定理(過去スレpart5の288)より K の絶対Galois群(>>47)G は
K の分離代数的拡大のほとんど全ての情報を含むと考えられる。
K が与えられたとき G の構造を決定することは可換体論において重要な問題である。
特に有理数体の絶対Galois群の構造を決定することは未解決の非常に重要な問題と考えられている。

49 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/04(日) 21:40:01.37
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G に標準位相(過去スレpart5の216)を入れる。
G の開部分群全体を Ψ とする。
L/K の中間体 M で M/K が有限次拡大となるもの全体を Φ とする。
H ∈ Ψ に対して H の固定体(過去スレpart4の863)を k(H) と書く。
M ∈ Φ に対して Aut(L/M) を g(M) と書く。
このとき k(Ψ) ⊂ Φ、g(Φ) ⊂ Ψ であり k:Ψ → Φ と g:Φ → Ψ は互いに逆写像である。

証明
H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。
H は過去スレpart5の249より G の閉部分群である。
よって、Galois理論の基本定理(過去スレpart5の288)より H = g(M)
過去スレpart5の325より [M_s : K] は有限である。
ここで、M_s は M における K の相対分離的閉包(過去スレpart4の890)である。
L/K はGalois拡大であるから M/K は分離代数的である。
よって、M_s = M である。
よって、M ∈ Φ である。

逆に任意の M ∈ Φ に対して標準位相の定義より g(M) は開部分群である。
よって、g(M) ∈ Ψ

Galois理論の基本定理(過去スレpart5の288)より
k:Ψ → Φ と g:Φ → Ψ は互いに逆写像である。
証明終

50 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/04(日) 21:44:13.41
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
G に標準位相(過去スレpart5の216)を入れる。
G の開正規部分群全体を Ψ とする。
L/K の中間体 M で M/K が有限次の正規拡大となるもの全体を Φ とする。
H ∈ Ψ に対して H の固定体(過去スレpart4の863)を k(H) と書く。
M ∈ Φ に対して Aut(L/M) を g(M) と書く。
このとき k(Ψ) ⊂ Φ、g(Φ) ⊂ Ψ であり k:Ψ → Φ と g:Φ → Ψ は互いに逆写像である。

証明
H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。
H は過去スレpart5の249より G の閉部分群である。
よって、Galois理論の基本定理(過去スレpart5の288)より H = g(M)
よって、過去スレpart5の308より M/K は正規拡大である。
よって、>>49より M ∈ Φ である。

逆に任意の M ∈ Φ に対して過去スレpart5の308より g(M) は正規部分群である。
標準位相の定義より g(M) は開部分群である。
よって、g(M) ∈ Ψ

Galois理論の基本定理(過去スレpart5の288)より
k:Ψ → Φ と g:Φ → Ψ は互いに逆写像である。
証明終

51 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/04(日) 23:38:57.97
命題
K を可換体とする。
L/K をGalois拡大(過去スレpart4の844)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
過去スレpart5の231より G は標準位相(過去スレpart5の216)で位相群となる。
L/K の中間体 M で M/K が有限次の正規拡大となるもの全体を Φ とする。
M_1、M_2 ∈ Φ、M_1 ⊂ M_2 とする。
過去スレpart4の876より、任意の σ ∈ Aut(M_2/K) に対して σ(M_1) = M_1 である。
よって、σ の M_1 への制限 σ|M_1 は Aut(M_1/K) の元である。
σ ∈ Aut(M_2/K) に対して σ|M_1 を対応させることにより
準同型 Aut(M_2/K) → Aut(M_1/K) が得られる。
位相群の圏を TopGrp とすれば (Aut(M/K))、M ∈ Φ は
TopGrp における Φ 上の射影系(過去スレpart5の684)である。
ただし、各 Aut(M/K) は離散群(過去スレpart5の712)と見なす。
このとき G は位相群として lim[M ∈ Φ] Aut(M/K) と同型である。

証明
過去スレpart5の727より G は標準位相で副有限群(過去スレpart5の705)となる。
G の開正規部分群全体を Ψ とする。
過去スレpart5の706より G は lim[H ∈ Ψ] G/H に位相群として同型である。
>>50より k:Ψ → Φ と g:Φ → Ψ は互いに逆写像である。
H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。
H = g(M)
よって、過去スレpart5の309より G/H は位相群として Aut(M/K) に同型である。
過去スレpart5の212より G/H は離散群(過去スレpart5の712)である。
よって、G は位相群として lim[M ∈ Φ] Aut(M/K) と同型である。
証明終

52 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 00:11:05.52
命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
L/K を有限次拡大とする。
n = [L : K](過去スレpart4の560)とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
このとき L は X^(q^n) - X ∈ K[X] の根全体と一致する。
従って L は X^(q^n) - X の K 上の最小分解体(過去スレpart4の542)である。

証明
|L| = q^n である。
過去スレpart1の332より L の乗法群 L^* は巡回群である。
|L^*| = q^n - 1 である。
よって、L^* の任意の元 α に対して α^(q^n - 1) = 1 である。
よって、α^(q^n) = α である。
即ち α は多項式 X^(q^n) - X の根である。
0 は X^(q^n) - X の根であるから L の全ての元は X^(q^n) - X の根である。
|L| = q^n であるから L は X^(q^n) - X の根全体と一致する。
証明終

53 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 00:42:35.34
命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
L/K を有限次拡大とする。
n = [L : K](過去スレpart4の560)とする。
ψ:L → L をFrobenius自己準同型(過去スレpart1の220)とする。
このとき L/K はGalois拡大(過去スレpart4の844)であり
Aut(L/K)(過去スレpart4の847)は ψ^m で生成される位数 n の巡回群である。

証明
>>52より L は X^(q^n) - X の K 上の最小分解体(過去スレpart4の542)である。
よって、過去スレpart4の876より L/K は正規拡大(過去スレpart4の844)である。
X^(q^n) - X は分離的(過去スレpart4の694)であるから L/K はGalois拡大である。
φ = ψ^m とおく。
α ∈ L のとき φ(α) = α^(p^m) = α^q である。
φ:L → L は単射であり L は有限集合であるから φ は全単射である。
よって、φ は L の自己同型である。
>>52より K は X^q - X の根全体と一致する。
よって、φ は K の元を動かさない。
よって、φ ∈ Aut(L/K) である。
>>52より L は X^(q^n) - X の根全体と一致する。
よって、φ^n = 1 である。
過去スレpart1の332より L の乗法群 L^* は巡回群である。
α ∈ L^* をその生成元とする。
|L^*| = q^n - 1 である。
φ^r = 1、1 ≦ r < n とする。
α(q^r) = α
よって、α^(q^r - 1) = 1
これは α の位数が q^n - 1 であることに矛盾する。
よって、φ の位数は n である。
|Aut(L/K)| = n であるから Aut(L/K) は φ で生成される巡回群である。
証明終

54 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 01:40:27.39
>>53
φ の位数が n であることは次のように証明したほうが良い。

φ^r = 1、1 ≦ r < n とする。
全ての α ∈ L に対して α(q^r) = α
よって、多項式 X^(q^r) - X が q^n 個の根を持つことになって矛盾する。

55 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 02:05:16.74
命題
有限体(過去スレpart4の681)は完全体(過去スレpart1の222)である。

証明
K を有限体とする。
K の標数(過去スレpart4の667)を p とする。
ψ:K → K をFrobenius自己準同型(過去スレpart1の220)とする。
ψ は単射で K は有限集合だから ψ は全射である。
よって、K = K^p(過去スレpart1の229)である。
よって、過去スレpart1の238より K は完全体(過去スレpart1の222)である。
証明終

56 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 02:09:29.45
命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
K~ を K の代数的閉包(過去スレpart4の634)とする。
このとき K~/K はGalois拡大(過去スレpart4の844)である。

証明
K~/K は正規拡大(過去スレpart4の844)である。
>>55より K は完全体(過去スレpart1の222)である。
よって、K~/K は分離代数的(過去スレpart4の843)である。
よって、K~/K はGalois拡大である。
証明終

57 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 02:19:27.51
命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
K~ を K の代数的閉包とする。
ψ:K~ → K~ をFrobenius自己準同型(過去スレpart1の220)とする。
φ = ψ^m とおく。
このとき φ ∈ Aut(K~/K)(過去スレpart4の847)である。

証明
α ∈ K~ のとき φ(α) = α^(p^m) = α^q である。
K~ は代数的閉体(過去スレpart4の628)であるから、
任意の β ∈ K~ に対して多項式 X^q - β は K~ において根を持つ。
よって、φ は全射である。
よって、φ は K~ の自己同型である。
>>52より K は多項式 X^q - X の根全体と一致する。
よって、φ は K の元を動かさない。
よって、φ ∈ Aut(K~/K) である。
証明終

58 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 02:42:31.82
命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
K~ を K の代数的閉包とする。
ψ:K~ → K~ をFrobenius自己準同型(過去スレpart1の220)とする。
φ = ψ^m とおく。
>>57より φ ∈ Aut(K~/K)(過去スレpart4の847)である。
このとき、任意の整数 n ≧ 1 に対して [L : K] = n となる K~/K の中間体 L が一意に存在する。
L/K はGalois拡大(過去スレpart4の844)であり
Aut(L/K) は φ|L で生成される位数 n の巡回群である。
ここで φ|L は φ を L に制限したものである。

証明
L = {x ∈ K~;φ^n(x) = x} とおく。
L は K~ の部分体で K を含む。
L は多項式 X^(q^n) - X ∈ K[X] の根全体である。
X^(q^n) - X の導多項式(過去スレpart1の182)は (q^n)X^(q^n - 1) - 1 = -1
よって、過去スレpart4の695より X^(q^n) - X は分離的(過去スレpart4の694)である。
よって、|L| = q^n である。
よって、[L : K] = n である。

>>52より [L : K] = n となる K~/K の中間体 L は
X^(q^n) - X ∈ K[X] の根全体と一致するから一意に決まる。

L/K は多項式 X^(q^n) - X の K 上の最小分解体(過去スレpart4の542)である。
よって、過去スレpart4の876より L/K は正規拡大(過去スレpart4の844)である。
X^(q^n) - X は分離的であるから L/K はGalois拡大である。

>>53より Aut(L/K) は φ|L で生成される位数 n の巡回群である。
証明終

59 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 02:58:49.50
命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
K~ を K の代数的閉包とする。
このとき Aut(K~/K)(過去スレpart4の847)は Z^に位相群として同型である。
ここで Z^は有理整数全体の作るアーベル群 Z に付随する副有限群(過去スレpart5の741)である。

証明
過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。
ψ:K~ → K~ をFrobenius自己準同型(過去スレpart1の220)とする。
φ = ψ^m とおく。
>>56より K~/K はGalois拡大(過去スレpart4の844)である。
>>58より各整数 n ≧ 1 に対して [L_n : K] = n となる K~/K の中間体 L_n で
L_n/K がGalois拡大となるものが一意に存在する。
Aut(L_n/K) は φ|L で生成される位数 n の巡回群である。
>>51より Aut(K~/K) は位相群として lim Aut(L_n/K) と同型である。
これは位相群として Z^ = lim Z/nZ と同型である。
証明終

60 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 03:08:09.75
>>59で目を引くのは有限体の絶対Galois群(>>47)Aut(K~/K) が
K の標数に無関係に一定の副有限群 Z^に同型であるということである。

61 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 09:29:18.35
ここで、Galois理論の応用として代数学の基本定理、即ち複素数体が代数的閉体であることを証明しよう。
次の事実を基礎とする。

(1)中間値の定理より実係数の奇数次の多項式は実根を持つ。

(2)複素係数の2次多項式は複素数体において根を持つ。

62 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 10:27:55.00
補題
K を可換体とする。
K 係数の奇数次の多項式は K において常に根を持つとする。
L/K を任意の有限次Galois拡大(過去スレpart4の844)とする。
このとき G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)の位数は 2 の冪である。

証明
L ≠ K と仮定してよい。
原始要素の定理(過去スレpart1の335)より L = K(α) となる α ∈ L がある。
仮定より α の K 上の最小多項式(過去スレpart4の557)の次数は奇数では有り得ない
よって、G の位数は偶数である。
|G| = (2^n)m で m は奇数とする。
過去スレpart5の802より G は位数 2^n の部分群 P を持つ。
P で固定される L の部分体を M とする。
[M : K] = m は奇数だから上と同様の理由により m = 1 である。
即ち M = K である。
よって Galois理論の基本定理(過去スレpart5の288)より G = P である。
証明終

63 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 10:37:05.90
命題(代数学の基本定理)
複素数体は代数的閉体(過去スレpart4の628)である。

証明
R を実数体とし C を複素数体とする。
過去スレpart4の635より
R 係数の次数 ≧ 1 の任意の多項式 f(X) が C において1次式の積に分解することを証明すればよい。
f(X) の C 上の最小分解体(過去スレpart4の542)を L とする。
L は (X^2 + 1)f(X) の R 上の最小分解体であるから L/R はGalois拡大(過去スレpart4の844)である。
>>61の(1)と>>62より G = Aut(L/R) の位数は 2 の冪である。
よって、H = Aut(L/C) の位数も 2 の冪である。
過去スレpart5の782より H は可解群(過去スレpart1の550)である。
よって、|H| > 1 とすると過去スレpart1の564より H は指数 2 の正規部分群 N を持つ。
N で固定される L の部分体を F とすると [F : C] = 2 である。
これは>>61の(2)に矛盾する。
よって |H| = 1、即ち L = C となり f(X) は C において1次式の積に分解する。
証明終

64 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 12:08:18.17
定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
σ ∈ G、f = f(X_1、...、X_n) ∈ B のとき σf = f(X_σ(1)、...、X_σ(n)) と定義する。
f → σf は B の環としての自己同型である。
よって、準同型 π:G → Aut(B) が得られる。
ここで Aut(B) は B の自己同型群である。
π は明らかに単射である。
よって、B は忠実(過去スレpart5の843)な G-集合(過去スレpart5の77)となる。
Fix(G)(過去スレpart5の770)は A を含む B の部分環である。
Fix(G) を A[X_1、...、X_n]_sym と書く。
A[X_1、...、X_n]_sym の元を A 係数の n 変数の対称多項式という。

65 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 12:12:54.03
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
f ∈ A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)に対して f = Σf_k を同次多項式への分解とする。
このとき、各 f_k ∈ A[X_1、...、X_n]_sym である。

証明
自明である。

66 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 12:22:47.53
定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
各整数 k、0 ≦ k ≦ n に対して集合 {1、...、n} の部分集合 H で
k 個の要素からなるもの全体を P_k とする。
各 k に対して s_k = Σ[H ∈ P_k] Π[i ∈ H] X_i とおく。
s_k は明らかに k 次の同次多項式であり対称多項式(>>64)である。
s_k を次数 k の基本対称多項式と言う。


s_0 = 1
s_1 = X_1 + ...+ X_n
s_2 = Σ[i < j] X_iX_j

67 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 12:25:14.10
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B[U, V] を B 上の2変数の多項式環とする。
このとき
(U + VX_1)...(U + VX_n) = Σ[k = 0、...、n ] s_k U^(n-k)V^k
ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式(>>66)である。

証明
自明である。

68 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 12:27:22.20
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B[V] を B 上の2変数の多項式環とする。
このとき
(1 + VX_1)...(1 + VX_n) = Σ[k = 0、...、n ] s_kV^k
ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式(>>66)である。

証明
>>67において U に 1 を代入すればよい。

69 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 12:30:56.94
>>68
>B[V] を B 上の2変数の多項式環とする。

B[V] を B 上の1変数の多項式環とする。

70 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 12:32:22.40
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B[U] を B 上の1変数の多項式環とする。
このとき
(U - X_1)...(U - X_n) = Σ[k = 0、...、n ] (-1)^(n-k) s_(n-k) U^k
ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式(>>66)である。

証明
>>67において V に -1 を代入すればよい。

71 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 10:57:14.03
記法
Z を有理整数環とする。
集合 {n ∈ Z; n ≧ 0} を Z+ と書く。

72 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 10:59:39.93
哲也はウンコ

73 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 11:07:26.44
定義
n ≧ 1 を整数とする。
(Z+)^n を Z+(>>71)の n 個の直積集合とする。
a = (a_i) と b = (b_i) を (Z+)^n の元とする。
a ≠ b のとき k = min{i;a_i ≠ b_i} が定まる。
a_k < b_k のとき a < b と書く。
a = b または a < b のとき a ≦ b と書く。

74 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 11:10:51.35
命題
>>73の ≦ により (Z+)^n は全順序集合となる。

証明
自明である。

75 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 11:17:07.44
定義
>>74により ≦ は (Z+)^n の全順序である
これを (Z+)^n の辞書式順序と言う。

76 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 13:03:11.10
定義(代数的整数論021の178)
X を順序集合とする。
X の元 a は a < x となる x ∈ X が存在しないとき X の極大元と言う。

77 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 13:05:15.68
定義(代数的整数論021の179)
X を順序集合とする。
X の元 a は x < a となる x ∈ X が存在しないとき X の極小元と言う。

78 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 13:06:23.41
定義(代数的整数論021の397)
S を順序集合とする。
(1) S の空でない任意の部分集合が極大元(>>76)を持つとき S は極大条件を満たすと言う。
(2) S の空でない任意の部分集合が極小元(>>77)を持つとき S は極小条件を満たすと言う。

79 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 19:06:08.22
(Z+)^n の順序型は ω^n
と言ってもクマーにはワカランだろうな

80 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 19:12:11.14
百も承知

81 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 19:16:04.63
>>79
クマが知っていようがいまいが関係ないな
顔文字の意味を覚えた測度厨辺りか

82 :あのこうちやんは始皇帝だった:2012/03/06(火) 19:58:55.83

 お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ!!!!!!

 ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ!!!!!!!


83 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/03/06(火) 20:01:37.61
>>82
ホレ、今夜も頑張れやナ。




84 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 20:37:19.32
定義
極小条件(>>78)を満たす全順序集合を整列集合と呼ぶ。

85 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 20:48:19.34
命題
I を順序集合とする。
I が整列集合(>>84)であるためには I の空でない任意の部分集合が最小元を持つことが必要十分である。

証明
必要性:
I を整列集合とする。
J を I の空でない任意の部分集合とする。
仮定より J は極小元(>>77) a を持つ。
I は全順序集合であるから J の任意の元 x に対して a ≦ x または x ≦ a
x < a では有り得ないから a ≦ x
よって、a は J の最小元である。

十分性:
I の空でない任意の部分集合が最小元を持つとする。
I の任意の2元 a, b に対して {a, b} は最小元をもつ。
よって、a ≦ b または b ≦ a
よって、I は全順序集合である。
I の空でない任意の部分集合の最小元はその集合の極小元でもあるから I は整列集合である。
証明終

86 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 21:06:18.68
定義
I が整列集合(>>84)とする。
(M_i)、i ∈ I を順序集合の族とする。
M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。
a = (a_i) と b = (b_i) を M の元とする。
I は整列集合だから a ≠ b のとき k = min { i ∈ I;a_i ≠ b_i} が定まる。
a_k < b_k のとき a < b と書く。
a = b または a < b のとき a ≦ b と書く。

87 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 21:22:46.13
命題
>>86の ≦ は M の順序を定める。

証明
a < b かつ b < c のとき a < c を証明すれば良い。
k = min { i ∈ I;a_i ≠ b_i}
s = min { i ∈ I;b_i ≠ c_i}
とする。
a_k < b_k かつ b_s < c_s である。

I は全順序集合だから以下の3通りの場合がある。

1) k = s の場合:
i < k のとき a_i = b_i = c_i
a_k < b_k < c_k であるから a_k < c_k
よって、a < c

2)k < s の場合:
i < k のとき a_i = b_i = c_i
a_k < b_k = c_k であるから a_k < c_k
よって、a < c

3)s < k の場合:
i < s のとき a_i = b_i = c_i
a_s = b_s < c_s であるから a_s < c_s
よって、a < c
証明終

88 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 21:26:46.48
定義
I を整列集合(>>84)とする。
(M_i)、i ∈ I を順序集合の族とする。
M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。
>>87より>>86の ≦ は M の順序となる
この順序を M の辞書式順序と呼ぶ。

89 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 21:53:18.93
命題
I を整列集合(>>84)とする。
(M_i)、i ∈ I を順序集合の族とする。
各 M_i は空でないとする。
M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。
このとき M が辞書式順序(>>88)により全順序集合となるためには
各 M_i が全順序集合であることが必要十分である。

証明
必要性:
M が辞書式順序で全順序集合であるとする。
ある k ∈ I に対して M_k が全順序集合でないと仮定して矛盾を導けば良い。
M_k の元 x、y で x ≦ y でも y ≦ x でもないものがある。

1)k が I の最小元の場合:
各 M_i は空でないから選択公理より M の元 a = (a_i) で x = a_k となるものがある。
同様に M の元 b = (b_i) で y = b_k となるものがある。
このとき辞書式順序で a ≦ b でも b ≦ a でもない。
これは M が全順序集合であることに矛盾する。

2)k が I の最小元でない場合:
各 M_i は空でないから選択公理より M の元 a = (a_i) で x = a_k となるものがある。
同様に M の元 b = (b_i) で y = b_k となるものがある。
M の元 c = (c_i) を以下のように定義する。
i < k のとき c_i = a_i
k ≦ i のとき c_i = b_i
このとき辞書式順序で a ≦ c でも c ≦ a でもない。
これは M が全順序集合であることに矛盾する。

十分性:
自明である。
証明終

90 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 22:33:53.71
明らかだろうが

91 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 22:39:19.94
命題
I を有限な整列集合(>>84)とする。
(M_i)、i ∈ I を整列集合の族とする。
M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。
このとき M は辞書式順序(>>88)により整列集合となる。

証明
I = {1、...、n} として一般性を失わない。
各 i ∈ I に対して f_i:M → M_i と g_i:M → (M_1)×...×(M_i) を射影とする。
N を M の空でない部分集合とする。
各 i ∈ I に対して M_i の元 a_i を以下のように帰納的に決める。
f_1(N) の最小元を a_1 とする。
a_1、...、a_i まで決まったとき
f_(i+1)((g_i)^(-1)(a_1、...、a_i) ∩ N) の最小元を a_(i+1) とする。
このとき (a_1、...、a_n) が N の最小元である。
証明終

92 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 22:56:26.62
>>90
明らかだと思ったら証明はスルーすればいい。
律儀に全部読む必要はない。

93 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 23:00:57.35
命題
M を整列集合(>>84)とする。
N を M の部分集合とする。
x を M の任意の元とする。
{ y ∈ M; y < x } ⊂ N なら x ∈ N とする。
このとき M = N である。

証明
M ≠ N と仮定する。
M - N は空でないから最小限 a を持つ。
{ y ∈ M; y < a } ⊂ N であるから a ∈ N となって矛盾。
証明終

94 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 23:03:23.02
というか証明は読まずに自分で考えるのがベスト

95 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 23:07:32.59
よく演習問題が欲しいとか甘えたことを言ってるやつがいるが証明を読まずに自分で考えればいい。
それがいい演習問題になる。
または自分で問題を考えればいい。
例が欲しいとか言ってるやつも同様。
自分で例を考えるのがいい演習になる。

96 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 23:21:04.24
かまってもらえて嬉しそうだなw


97 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 23:26:46.68
記法
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f は f(X_1、...、X_n) = Σc_(a_1、...、a_n) (X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n)
と書ける。
ここで (a_1、...、a_n) は (Z+)^n(>>73)の元であり、
c_(a_1、...、a_n) は A の元である。

このとき
a = (a_1、...、a_n)
X = (X_1、...、X_n)
X^a = (X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n)
c_a = c_(a_1、...、a_n)
と略記する。
よって、f = Σc_a X^a である。

98 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 23:29:59.65
記法
a = (a_1、...、a_n) と b = (a_1、...、a_n) を (Z+)^n(>>73)の元としたとき
a + b = (a_1 + b_1、...、a_n + b_n) と書く。

99 :132人目の素数さん:2012/03/06(火) 23:37:45.49
別にそれほどでもない
それより何でも自分に引き付けて考える癖をなんとかしろよ

100 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/03/06(火) 23:45:11.25
>>99
何でも自分に引き付けて考えるのは推奨されるべき事。オマエは馬鹿。




101 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 23:53:05.62
定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
(Z+)^n(>>73)には辞書式順序(>>75)を入れておく。
f = Σc_a X^a(>>97)を B の 0 でない元とする。
max {a;c_a ≠ 0} ∈ (Z+)^n を f の複次数(multi-degree)と呼び mdeg(f) または mdeg f と書く。

a = mdeg(f) のとき c_a X^a を f の主項(leading term)と呼び lead(f) と書く。
c_a を f の主係数と呼ぶ。

102 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/06(火) 23:57:59.71

mdeg(X_1) = (1、0、...、0)
mdeg(X_n) = (0、...、0、1)

103 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 00:02:21.83

s_k を次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
このとき lead(s_k) = X_1...X_k

104 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 00:13:18.61
命題
a、b、c を (Z+)^n(>>73)の元とする。
(Z+)^n には辞書式順序(>>75)を入れておく。
a < b のとき a + c < b + c である。

証明
自明である。

105 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 00:28:06.73
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
f ≠ 0 と g ≠ 0 を B の元とする。
c_a と d_b をそれぞれ f と g の主係数(>>101)とする。
(c_a)(d_b) ≠ 0 のとき

mdeg(fg) = mdeg(f) + mdeg(g)
lead(fg) = lead(f)lead(g)

証明
f = c_aX^a + Σ[i < a] c_iX^i
g = d_bX^b + Σ[j < b] d_jX^j
と書ける。

よって、
fg = (c_a)(d_b)X^(a + b) + Σ[j < b] (c_a)(d_j)X^(a + j) + Σ[i < a] (c_i)(d_b)X^(i + b)
+ Σ[i < a、j < b] (c_i)(d_j)X^(i + j)

>>104より
j < b のとき a + j < a + b
i < a のとき i + b < a + b
i < a、j < b のとき i + j < a + j < a + b

よって、
mdeg(fg) = mdeg(f) + mdeg(g)
lead(fg) = lead(f)lead(g)
証明終

106 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 00:42:15.06
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
(a_1、...、a_n) ∈ (Z+)^n とする。
このとき
mdeg((s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n)) = (a_1 + ... + a_n、a_2 + ... + a_n、...、a_n)

証明
>>103より lead(s_k) = X_1...X_k
よって、>>105より lead((s_k)^(a_k)) = (X_1)^(a_k)...(X_k)^(a_k)
よって、>>105より
mdeg((s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n)) = (a_1 + ... + a_n、a_2 + ... + a_n、...、a_n)
証明終

107 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 01:05:35.76
命題
A を可換環とする。
f ≠ 0 を A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)の元とする。
mdeg(f) = (a_1、...、a_n)(>>101)とする。
このとき a_1 ≧ a_2 ≧ ...≧ a_n である。

証明
lead(f) = c(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) とする。
ここで c ≠ 0 は A の元である。
任意の σ ∈ Sym({1、...、n})(>>6)に対して σf = f であるから
c(X_σ(1))^(a_1)...(X_σ(n))^(a_n) は f の項である。
よって、σ として互換 (1, 2) をとれば c(X_1)^(a_2)(X_2)^(a_1)...(X_n)^(a_n) は f の項である。
よって、a_1 ≧ a_2 である。
同様に σ として互換 (2, 3) をとることにより a_2 ≧ a_3 となる。
以下同様にして a_1 ≧ a_2 ≧ ...≧ a_n となる。
証明終

108 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 03:04:14.44
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
>>64より B は忠実(過去スレpart5の843)な G-集合(過去スレpart5の77)となる。
このとき、任意の f ∈ B に対して h = Σ[g ∈ O(f)] g は対称多項式(>>64)である。
ここで、O(f) = {σ(f); σ ∈ G} は f の軌道(過去スレpart5の92)である。

証明
H を f の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
即ち H = {σ ∈ G;σ(f) = f} である。
G/H を G の H による左剰余類全体の集合とする。
σ_1、...、σ_m を G/H の完全代表系とする。
O(f) = {σ_1(f)、...、σ_m(f)} である。
よって、h = σ_1(f) + ...+ σ_m(f) である。
任意の τ ∈ G に対して τσ_1、...、τσ_m は G/H の完全代表系である。
よって、τh = τσ_1(f) + ...+ τσ_m(f) = σ_1(f) + ...+ σ_m(f) = h
よって、h は対称多項式である。
証明終

109 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 03:14:40.34
命題
A を可換環とする。
a_1 ≧ a_2 ≧ ...≧ a_n ≧ 0 を整数とする。
このとき mdeg(f) = (a_1、...、a_n)(>>101)となる f ∈ A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)がある。

証明
g = (X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) とする。
>>108より f = Σ[h ∈ O(g)] h は対称多項式(>>64)である。
明らかに mdeg(f) = (a_1、...、a_n) である。
証明終

110 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 08:47:31.31
命題(超限帰納法)
M を整列集合(>>84)とする。
M の各元 x に関する命題 P(x) があるとする。
P(x) が次の性質(*)を満たすとする。

(*)y < x なら常に P(y) が真であることを仮定すれば P(x) も真である。

このとき M の全ての元 x に対して P(x) は真である。

証明
N = { x ∈ M; P(x) が真} とおく。
(*)より { y ∈ M; y < x } ⊂ N なら x ∈ N である。
よって、>>93より M = N である。
よって、M の全ての元 x に対して P(x) は真である。
証明終

111 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 09:21:42.55
命題
A を可換環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
このとき、A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)= A[s_1、...、s_n] である。
即ち、A 係数で n 変数の任意の対称多項式は s_1、...、s_n の A 係数の多項式として表される。

証明
>>91より、(Z+)^n (>>73)は整列集合(>>84)である。
M = {(a_1、...、a_n) ∈ (Z+)^n; a_1 ≧ a_2 ≧ ...≧ a_n} とおく。
M は整列集合の部分集合であるから整列集合である。
各 a ∈ M に対して次の命題 P(a) を考える。

P(a):a = mdeg(g) となる g ∈ A[X_1、...、X_n]_sym は常に g ∈ A[s_1、...、s_n] となる。

>>107より g ≠ 0 を A[X_1、...、X_n]_sym の元としたとき mdeg(g) ∈ M である。
よって、M の全ての元 a に対して P(a) が真であることを証明すれば良い。
そのため M に関する超限帰納法(>>110)を使う。

(続く)

112 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 09:22:06.33
>>111の続き

f ≠ 0 を A[X_1、...、X_n]_sym の元とし e = mdeg(f) とする。
a < e かつ a ∈ M なら P(a) は真であると仮定する。
このとき f ∈ A[s_1、...、s_n] を示せば良い。
a_1 = e_1 - e_2、a_2 = e_2 - e_3、...、 a_(n-1) = e_(n-1) - e_n、a_n = e_n とおく。
e_1 ≧ e_2 ≧ ...≧ e_n であるから (a_1、...、a_n) ∈ (Z+)^n である。
>>106より mdeg((s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n)) = (e_1、...、e_n) である。
f の主係数(>>101)を c とする。
f = c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) なら f ∈ A[s_1、...、s_n] である。
f ≠ c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) なら g = f - c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) とおく。
g ≠ 0 であるから mdeg(g) が定義され mdeg(g) < e である。
>>107より mdeg(g) ∈ M である。
仮定より P(mdeg(g)) は真であるから g ∈ A[s_1、...、s_n] である。
よって、f = c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) + g ∈ A[s_1、...、s_n] である。
証明終

113 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 09:39:11.37
定義(代数的整数論021の154)
L と M を順序集合とする。
写像 f:L → M を全単射とする。
f と f^(-1) が単調増加(過去スレpart5の783)であるとき f を同型写像または同型と言う。
このとき L と M は同型であるという。

114 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 09:58:37.54
命題
M を無限整列集合(>>84)とし、次の条件(*)を満たすとする。

(*)M の任意の元 a に対して {x ∈ M; x < a} は有限集合である。

このとき M は Z+(>>71)と順序集合として同型(>>113) である。

証明
f:M → Z+ を次のように定義する。
a ∈ M のとき f(a) を {x ∈ M; x < a} の元の個数とする。
f は明らかに単調増加(過去スレpart5の783)である。
a < b なら明らかに f(a) < f(b) であるから f は単射である。
任意の n ∈ Z+ に対して n = f(a) となる a ∈ M があることを n に関する帰納法で証明しよう。
n = 0 のときは a として M の最小元をとれば良い。
n > 0 として n - 1 = f(b) となる b ∈ M があると仮定する。
このとき n = f(a) となる a ∈ M があることを示せば良い。
M は無限集合だから {x ∈ M; x > b} は空でない。
a を {x ∈ M; x > b} の最小元とする。
f(a) = f(b) + 1 = n である。

以上から f:M → Z+ は全単射であることが分かった。
f の逆写像を g:Z+ → M とする。
g が単調増加であることは明らかである。
証明終

115 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 10:11:17.59
命題
(Z+)^n(>>71)に辞書式順序(>>75)を入れて順序集合と見なす。
M = {(a_1、...、a_n) ∈ (Z+)^n; a_1 ≧ a_2 ≧ ...≧ a_n} とおく。
このとき M は順序集合として Z+ に同型(>>113) である。

証明
>>91より、(Z+)^n (>>73)は整列集合(>>84)である。
M は (Z+)^n の部分集合であるから整列集合である。
明らかに M は無限集合である。
よって、M が>>114の条件(*)を満たすことを証明すれば良い。

M の任意の元 a = (a_1、...、a_n) に対して
x = (x_1、...、x_n) ∈ M、x < a なら a_1 ≧ x_1 であるから
a_1 ≧ x_1 ≧ x_2 ≧ ...≧ x_n である。
よって、集合 {x ∈ M; x < a} の元の個数は (a_1)^n 以下である。
証明終

116 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 10:20:34.42
注意
>>111の証明で M = {(a_1、...、a_n) ∈ (Z+)^n; a_1 ≧ a_2 ≧ ...≧ a_n} に関する
超限帰納法(>>110)を使った。
しかし、>>115より M は順序集合として Z+ に同型(>>113) であるから
この場合は通常の数学的帰納法と実質同じである。
このことは>>111の証明法が具体的に与えられた対称式を基本対称式の多項式として表すための
実用アルゴリズムとして使えることを意味する。

117 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 10:25:34.29
因みに>>111の証明をここまで丁寧かつ厳密にしている教科書を見たことがない。

118 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 11:05:59.77
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
C = A[X_1、...、X_(n-1)] とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を B における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
t_k(1 ≦ k ≦ n - 1) を C における次数 k の基本対称多項式とする。
このとき各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t(k-1)X_n となる。

証明
各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して
集合 {1、...、n} の部分集合 T で k 個の要素からなるもの全体を P_k とする。
集合 {1、...、n - 1} の部分集合 S で k 個の要素からなるもの全体を Q_k とする。
R_k = {H ∈ P_k; n ∈ H} とおく。
P_k = Q_k ∪ R_k と直和分割される。
R_k の各元は Q_(k-1) の各元と1対1に対応する。
よって、本命題が得られる。
証明終

119 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 11:19:52.83
定義(過去スレpart5の2の拡張)
A を可換環とする。
A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
C を可換な A-線型環(過去スレpart1の97)とする。
α_1、...、α_n を C の元の有限列とする。
過去スレpart4の550より A-線型環としての準同型 ψ:A[X_1、...、X_n] → C で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
ψ が単射のとき α_1、...、α_n は A 上代数的独立であるという。

120 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 11:49:53.07
命題(van der Waerden)
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を B における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
このとき s_1、...、s_n は A 上代数的独立(>>119)である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは s_1 = X_1 であるから本命題は成り立つ。
n > 1 と仮定する。
s_1、...、s_n が A 上代数的独立でないとして矛盾を導こう。
B の元 f ≠ 0 で f(s_1、...、s_n) = 0 となるものがある。
f として X_n に関する次数 m が最小のものをとる。
f = g_m(X_n)^m + g_(m-1)(X_(m-1))^(m-1) + ...+ g_0 とする。
ここで、各 g_i は A[X_1、...、X_(n-1)] の元である。
このとき g_0 ≠ 0 である。
何故なら g_0 = 0 なら f は X_n で割れて m の最小性に反するからである。

A-準同型 ψ:A[X_1、...、X_n] → A[X_1、...、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 で定義する。

t_k(1 ≦ k ≦ n - 1) を A[X_1、...、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
>>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t(k-1)X_n となる。
よって、ψ(s_k) = t_k である。

f(s_1、...、s_n) = 0 だから
g_m(s_1、...、s_(n-1))(s_n)^m + ...+ g_0(s_1、...、s_(n-1)) = 0
この両辺に ψ を適用すると ψ(s_n) = 0、ψ(s_k) = t_k (1 ≦ k ≦ n - 1)より
g_0(t_1、...、t_(n-1)) = 0
しかし、g_0 ≠ 0 であったからこれは帰納法の仮定に反する。
証明終

121 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 13:41:08.88
定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f ≠ 0 は f = Σc_a X^a(>>97)と書ける。
単項式 X^a = (X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) に対して a_1 + ... + a_n を X^a の次数と呼び
deg X^a と書く。
max {deg X^a;c_a ≠ 0} を f の次数と呼び deg(f) または deg f と書く。

122 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 17:51:46.66
命題
A を可換環とする。
A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
f ≠ 0 を A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)の元とする。
>>111より G ∈ A[X_1、...、X_n] で f = G(s_1、...、s_n) となるものが存在する。
>>120より G は f により一意に定まる。
e = (e_1、...、e_n) = mdeg(f) (>>101)とする。
このとき e_1 = deg(G)(>>121)である。

証明
>>111の証明と同様に mdeg(f) に関する超限帰納法(>>110)を使う。
a_1 = e_1 - e_2、a_2 = e_2 - e_3、...、 a_(n-1) = e_(n-1) - e_n、a_n = e_n とおく。
>>106より mdeg((s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n)) = (e_1、...、e_n) である。
f の主係数(>>101)を c とする。
f = c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) なら G = c(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) とけば
f = G(s_1、...、s_n) となり e_1 = a_1 + ... + a_n = deg(G) である。

f ≠ c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) なら h = f - c(s_1)^(a_1)...(S_n)^(a_n) とおく。
h ≠ 0 であるから mdeg(h) が定義され mdeg(h) < e である。
mdeg(h) = (d_1、...、d_n) とする。
帰納法の仮定より H ∈ A[X_1、...、X_n] で h = H(s_1、...、s_n) となるものが存在し、
d_1 = deg(H) である。
f = c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) + H(s_1、...、s_n)
G = c(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) + H とおけば
G ∈ A[X_1、...、X_n] で f = G(s_1、...、s_n) となる。
e_1 = a_1 + ... + a_n = deg(c(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n)) であり e_1 ≧ d_1 = deg(H) である。
mdeg(h) < e であるから H には (X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) の定数(≠ 0)倍の項は現れない。
よって e_1 = deg(G) である。
証明終

123 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 18:08:35.45
>>120の命題は古くから知られていてvan der Waerdenが最初に見つけたというわけではない。
>>120の証明をvan der Waerdenに負っているという意味である。

124 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 18:14:32.49
定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f ≠ 0 は f = Σc_a X^a(>>97)と書ける。
f の c_a ≠ 0 となる各項 c_a X^a の次数(>>121)が全て等しいとき
f を同次多項式と言う。

125 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 18:22:41.00
定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f ≠ 0 は f = Σc_a X^a(>>97)と書ける。
c_a ≠ 0 のとき単項式 c_aX^a = c_a(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) に対して
a_1 + 2a_2 + ...+ na_n を c_aX^a の重さ(weight)と言う。
f の c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さの最大値を f の重さと言う。

f の c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さが等しいとき f を同重と言う。

126 :132人目の素数さん:2012/03/07(水) 19:01:37.23
e

127 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 22:06:29.29
命題
A を可換環とする。
A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
f ≠ 0 を A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)の元で同次多項式(>>124)とする。
>>111より G ∈ A[X_1、...、X_n] で f = G(s_1、...、s_n) となるものが存在する。
>>120より G は f により一意に定まる。
このとき G は同重(>>125)でその重さ(>>125)は f の次数(>>121)に等しい。

証明
>>111の証明と同様に mdeg(f) に関する超限帰納法(>>110)を使う。
n = deg(f) とする。
e = (e_1、...、e_n) = mdeg(f) とする。
n = e_1 + ... + e_n である。
a_1 = e_1 - e_2、a_2 = e_2 - e_3、...、 a_(n-1) = e_(n-1) - e_n、a_n = e_n とおく。
>>106より
mdeg((s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n))
= (a_1 + ... + a_n、a_2 + ... + a_n、...、a_n)
= (e_1、...、e_n)

f の主係数(>>101)を c とする。
f = c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) なら G = c(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) とおけば
f = G(s_1、...、s_n) となり n = e_1 + ... + e_n = a_1 + 2a_2 + ...+ na_n
これは G の重さに等しい。

(続く)

128 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 22:07:14.68
>>127の続き

f ≠ c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) なら h = f - c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) とおく。
各 s_k(1 ≦ k ≦ n)は同次多項式であるから c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) も同次多項式である。
deg(c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n)) = e_1 + ... + e_n = n であるから
h も次数 n の同次多項式である。
h ≠ 0 であるから mdeg(h) が定義され mdeg(h) < e である。
帰納法の仮定より H ∈ A[X_1、...、X_n] で h = H(s_1、...、s_n) となるものが存在し、
n = deg(h) は H の各項の重さに等しい。
f = c(s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) + H(s_1、...、s_n)
G = c(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) + H とおけば
G ∈ A[X_1、...、X_n] で f = G(s_1、...、s_n) となる。
G は同重でその重さは f の次数 n に等しい。
証明終

129 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 09:11:30.43
>>124の修正

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の任意の元 f は f = Σc_a X^a(>>97)と書ける。
f の c_a ≠ 0 となる各項 c_a X^a の次数(>>121)が全て等しいとき
f を同次多項式と言う。
定数、つまり A の元も同次多項式である。

130 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 09:18:15.13
>>125の修正

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の任意の元 f は f = Σc_a X^a(>>97)と書ける。
c_a ≠ 0 のとき単項式 c_aX^a = c_a(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) に対して
a_1 + 2a_2 + ...+ na_n を c_aX^a の重さ(weight)と言う。
f ≠ 0 のとき c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さの最大値を f の重さと言う。

f の c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さが等しいとき f を同重と言う。
f = 0 も同重と見なす。

131 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 09:21:02.49
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
f を A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)の任意の元とする。
f = Σc_a X^a(>>97)と書ける。
C を {c_a; c_a ≠ 0} で生成される A の部分環とする。
このとき G ∈ C[X_1、...、X_n] で f = G(s_1、...、s_n) となるものが一意に存在する。

証明
f ∈ C[X_1、...、X_n]_sym であるから
>>111より G ∈ C[X_1、...、X_n] で f = G(s_1、...、s_n) となるものが存在する。
>>120より G は f により一意に定まる。
証明終

132 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 09:49:24.79
補題
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
f ∈ A[X] をモニック(過去スレpart1の115)な多項式とする。
n = deg f とする。
M = A + AX + ...+ AX^(n-1) とおく。
このとき A[X] は A-加群として M と fA[X] の直和である。

証明
A[X] の任意の 元 g ≠ 0 に対して g = fq + r、deg r < n となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。
これより本命題は明らかである。
証明終

133 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 10:11:37.62
補題
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
a ∈ A とする。
A-線型環(過去スレpart1の97)としての準同型 ψ:A[X] → A を ψ(X) = a により定める。
このとき Ker(ψ) = (X - a)A[X] である。

証明
(X - a)A[X] ⊂ Ker(ψ) は明らかであるから逆の包含関係を示せば良い。
f ≠ 0 を Ker(ψ) の元とする。
f = (X - a)q + r、deg r < 1 となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。
deg r = 0 だから r ∈ A である。
この等式の両辺に ψ を作用させれば 0 = r
よって、f ∈ (X - a)A[X]
証明終

134 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 11:27:54.20
>>121の修正

定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の元 f は f = Σc_a X^a(>>97)と書ける。
単項式 X^a = (X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) に対して a_1 + ... + a_n を X^a の次数と呼び
deg X^a と書く。
sup {deg X^a;c_a ≠ 0} を f の次数と呼び deg(f) または deg f と書く。
ただし、f = 0 のとき deg f = -∞ とする。

135 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 11:30:48.81
>>132
>A[X] の任意の 元 g ≠ 0 に対して g = fq + r、deg r < n となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。

A[X] の任意の 元 g に対して g = fq + r、deg r < n となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。

136 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 11:36:40.07
>>133の修正

補題
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
a ∈ A とする。
A-線型環(過去スレpart1の97)としての準同型 ψ:A[X] → A を ψ(X) = a により定める。
このとき Ker(ψ) = (X - a)A[X] である。

証明
(X - a)A[X] ⊂ Ker(ψ) は明らかであるから逆の包含関係を示せば良い。
f を Ker(ψ) の任意の元とする。
f = (X - a)q + r、deg r < 1 となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。
deg r = 0 または -∞(>>134)だから r ∈ A である。
この等式の両辺に ψ を作用させれば 0 = r
よって、f ∈ (X - a)A[X]
証明終

137 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 15:49:44.60
補題(Bourbaki)
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
f ∈ A[X] をモニック(過去スレpart1の115)な多項式とする。
n = deg f とする。
A[T] を 1 変数の多項式環とする。
A-線型環(過去スレpart1の97)としての準同型 ψ:A[T] → A[X] を ψ(T) = f により定める。
ψ により A[X] は A[T]-線型環と見なされる。
このとき 1、X、...、X^(n-1) は A[X] の A[T]-加群としての基底である。

証明
A-線型環としての準同型 φ:A[T, X] → A[X] を φ(T) = f、φ(X) = X により定める。
>>133より Ker(φ) = (T - f(X))A[T, X]

f(X) - T ∈ A[T][X] と見て>>132を適用すると
A[T, X] は A[T]-加群として A[T] + A[T]X + ...+ A[T]X^(n-1) と (T - f(X))A[T, X] の直和である。

φ は全射だから任意の g ∈ A[X] に対して g = φ(h) となる h ∈ A[T, X] がある。
上記より h ∈ A[T] + A[T]X + ...+ A[T]X^(n-1) + Ker(φ) である。
よって、g = φ(h) ∈ ψ(A[T]) + ψ(A[T])X + ...+ ψ(A[T])X^(n-1)
よって、A[X] = ψ(A[T]) + ψ(A[T])X + ...+ ψ(A[T])X^(n-1)

1、X、...、X^(n-1) が ψ(A[T]) 上線型独立であることを示せば良い。
g_0、g(1)、...、g_(n-1) を A[T] の元として
ψ(g_0) + ψ(g_1)X + ...+ ψ(g_(n-1))X^(n-1) = 0 とする。
φ(g_0 + g_1X + ...+ g_(n-1)X^(n-1)) = ψ(g_0) + ψ(g_1)X + ...+ ψ(g_(n-1))X^(n-1) = 0
よって、g_0 + g_1X + ...+ g_(n-1)X^(n-1) ∈ Ker(φ) = (T - f(X))A[T, X]
A[T, X] は A[T]-加群として A[T] + A[T]X + ...+ A[T]X^(n-1) と (T - f(X))A[T, X] の直和だから
g_0 = g_1 = ...= g_(n-1) = 0
証明終

138 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 18:23:10.48
補題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k を B における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
このとき
(-1)^(n+1) s_n = X^n + Σ[k = 1、...、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k

証明
B[U] を B 上の1変数の多項式環とする。
>>70より
(U - X_1)...(U - X_n) = Σ[k = 0、...、n ] (-1)^(n-k) s_(n-k) U^k

B-線型環(過去スレpart1の97)としての準同型 ψ:B[U] → B を ψ(U) = X_n により定める。
ψ をこの等式の両辺に作用させると

0 = X^n + (-1)^n s_n + Σ[k = 1、...、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k

よって、本補題の等式が得られる。
証明終

139 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 20:12:42.19
補題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
C = A[X_1、...、X_(n-1)] とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を B における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
t_k(1 ≦ k ≦ n - 1) を C における次数 k の基本対称多項式とする。
このとき各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して
t_k = (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、...、k] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i)

証明
k に関する帰納法を使う。
t_1 = X_1 + ...+ X_(n-1) = -X_n + s_1 だから k = 1 のときは成り立つ。

k > 1 として
t_(k-1) = (-1)^(k-1) (X_n)^(k-1) + Σ[i = 1、...、k-1] (-1)^(k-i-1) s_i (X_n)^(k-i-1)
を仮定する。

>>118より、s_k = t_k + t_(k-1)X_n
よって、

t_k
= s_k - t_(k-1)X_n
= s_k + (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、...、k-1] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i)
= (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、...、k] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i)

証明終

140 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 21:03:44.99
補題
A を可換環とする。
E = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n)を E における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
B = A[X_n] とする。
E = B[X_1、...、X_(n-1)] である。
R = B[X_1、...、X_(n-1)]_sym (>>64)とする。
このとき
R = B[s_1、...、s_(n-1)] であり s_1、...、s_(n-1) は B 上代数的独立(>>119)である。

証明
t_k(1 ≦ k ≦ n - 1)を A[X_1、...、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。

>>139より、各 k(1 ≦ k ≦ n - 1)に対して

t_k = (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、...、k] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i)

>>111より、R = B[t_1、...、t_(n - 1)] である。
上の等式より t_1、...、t_(n - 1) は B[s_1、...、s_(n-1)] に含まれる。
よって、R ⊂ B[s_1、...、s_(n-1)] である。
他方、s_1、...、s_(n-1) は R に含まれるから B[s_1、...、s_(n-1)] ⊂ R である。
よって、R = B[s_1、...、s_(n-1)] である。

(続く)

141 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 21:04:19.40
>>140の続き

>>120より、t_1、...、t_(n - 1) は B 上代数的独立(>>119)である。
よって、B-線型環としての準同型 ψ:R → R で
各 k(1 ≦ k ≦ n - 1)に対して

ψ(t_k) = (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、...、k] (-1)^(k-i) t_i (X_n)^(k-i)

となるものが一意に存在する。

>>118より、s_k = t_k + t_(k-1)X_n
よって、
ψ(s_k) = ψ(t_k ) + ψ(t_(k-1))X_n = t_k

F ∈ B[X_1、...、X_(n-1)] とし、F(s_1、...、s_(n-1)) = 0 とする。
ψ(F(s_1、...、s_(n-1))) = F(t_1、...、t_(n - 1)) = 0
t_1、...、t_(n - 1) は B 上代数的独立であるから F = 0 である。
よって、s_1、...、s_(n-1) は B 上代数的独立である。
証明終

142 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 00:17:18.60
補題
A を可換環とする。
B を A-線型環(過去スレpart1の97)とする。
B は A-加群として自由とする。
このとき標準写像 ψ:A → B は単射である。

証明
a ∈ A とし、ψ(a) = 0 とする。
a = 0 を示せば良い。
(e_i)、i ∈ I を B の A-加群としての A 上の基底とする。
任意の i ∈ I をとる。
ae_i = ψ(a)e_i = 0
(e_i)、i ∈ I は A 上線型独立であるから a = 0
証明終

143 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 00:25:48.38
補題
A を可換環とする。
E = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
S = A[X_1、...、X_n]_sym (>>64)とする。
B = A[X_n] とする。
R = B[X_1、...、X_(n-1)]_sym とする。
このとき R は 1、X_n、...、(X_n)^(n-1) を S 上の基底とする S-自由加群である。

証明
s_k(1 ≦ k ≦ n)を E における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
C = A[s_1、...、s_(n-1)] とする。
C[X_n] = B[s_1、...、s_(n-1)]
よって、>>140より R = C[X_n]
>>138より
(-1)^(n+1) s_n = X^n + Σ[k = 1、...、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k
よって、(-1)^(n+1) s_n は C[X_n] におけるモニック(過去スレpart1の115)な多項式である。
C[T] を 1 変数の多項式環とする。
C-線型環(過去スレpart1の97)としての準同型 ψ:C[T] → C[X_n] を ψ(T) = s_n により定める。
ψ により C[X_n] は C[T]-線型環と見なされる。
>>137より 1、X、...、X^(n-1) は C[X_n] の C[T]-加群としての基底である。
よって、>>142より ψ は単射である。
ψ(C[T]) = C[s_n] = A[s_1、...、s_n]
>>111より S = A[s_1、...、s_n] である。
よって、1、X、...、X^(n-1) は R = C[X_n] の S-加群としての基底である。
証明終

144 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 01:16:02.18
命題
A を可換環とする。
B を A 上の可換な線型環(過去スレpart1の97)とする。
C を B 上の線型環とする。
(e_i)、i ∈ I を B の A 上の基底とする。
(f_j)、j ∈ J を C の B 上の基底とする。
このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は C の A 上の基底である。

証明
過去スレpart4の561の証明と同様である。

145 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 01:18:02.05
命題
A を可換環とする。
E = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k を E における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
S = A[X_1、...、X_n]_sym (>>64)とする。
I = {(a_1、...、a_n) ∈ (Z+)^n(>>73); 0 ≦ a_i < i、(1 ≦ i ≦ n)} とおく。
このとき単項式の族 (X^a)、a ∈ I は E の S-加群としての基底である。
即ち、E は S 上の階数 n! の自由加群である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは本命題は自明である。
n > 1 とする。
B = A[X_n] とする。
E = B[X_1、...、X_(n-1)] である。
R = B[X_1、...、X_(n-1)]_sym とする。
t_k(1 ≦ k ≦ n - 1) を A[X_1、...、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
J = {(a_1、...、a_(n-1)) ∈ (Z+)^(n-1)(>>73); 0 ≦ a_i < i、(1 ≦ i ≦ (n-1))} とおく。
帰納法の仮定より、単項式の族 ((X_1)^(a_1)...(X_(n-1))^(a_(n-1)))、a ∈ J は
E の R-加群としての基底である。
一方、>>143より R は 1、X_n、...、(X_n)^(n-1) を S 上の基底とする S-自由加群である。
よって、本命題は>>144より得られる。
証明終

146 :132人目の素数さん:2012/03/09(金) 07:00:39.20
522 名前:Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 22:21:13.18
楕円関数は代数関数論の一部として理解しなけりゃ真の意義が分からないだろ。
もっと言うと代数関数論はコンパクトリーマン面、非特異射影代数曲線、1変数代数関数体
この三つを総合して考える必要がある。
これ等は一つの実体の異なる化身と考えられる。
いわば三位一体


523 名前:Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 22:23:11.83
スレを間違えたw
まったく無関係というわけじゃないが


524 名前:Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 22:43:09.82
GaussはDisquisitiones Arithmeticaeにおいてレムニスケートの等分理論についてほのめかしている。
Abelはそれに触発されて楕円関数の研究に向かったと思われる。
楕円関数の等分方程式の可解性の問題がAbelの方程式論の背後にある。
Galoisの問題意識も恐らくそこにあったと思われる。

147 :132人目の素数さん:2012/03/09(金) 07:06:59.01
>>74
全順序集合の定義はどこにありますか

148 :132人目の素数さん:2012/03/09(金) 08:36:23.11
>>147
ネット
例えばwikipedia

149 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 12:42:19.68
定義
A を可換環とする。
a を A の元とする。
x ∈ A に ax ∈ A を対応させる写像 λ_a:A → A が単射のとき a を A の正則元と言う。

150 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 13:23:01.04
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
このとき各 X_i (1 ≦ i ≦ n)は B の正則元(>>149)である。

証明
f ≠ 0 を B の任意の非零元としたとき、(X_i)f ≠ 0 を示せば良い。
f = Σc_a X^a(>>97)と書ける。
a、b ∈ (Z+)^n(>>73)、a ≠ b なら (X_i)X^a ≠ (X_i)X^b である。
よって、(X_i)f = Σc_a (X_i)X^a ≠ 0
証明終

151 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 14:43:04.78
>>111の別証

命題
A を可換環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
f を A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)を任意の元とする。
このとき f = G(s_1、...、s_n) となる G ∈ A[X_1、...、X_n] が存在する。
さらに G の重さ(>>125)は f の次数(>>121)に等しくなるように G を選べる。

証明
m = deg f(>>134)とする。
n と m に関する2重帰納法を使う。
n ≦ 1 のときは自明である。
n > 1 とする。

A[X_1、...、X_(n-1)]-線型環(過去スレpart1の97)としての準同型
ψ:A[X_1、...、X_n] → A[X_1、...、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 により定める。
t_k(1 ≦ k ≦ n - 1) を A[X_1、...、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
>>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t_(k-1)X_n
よって、ψ(s_k) = t_k

(続く)

152 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 14:43:44.24
>>151の続き

ψ(f) は対称多項式であるから帰納法の仮定より P ∈ A[X_1、...、X_(n-1)] があり
ψ(f) = P(t_1、...、t_(n-1)) となる。
P の重さは deg ψ(f) に等しくなるように P を選べる。
ψ(f - P(s_1、...、s_(n-1))) = P(t_1、...、t_(n-1)) - P(t_1、...、t_(n-1)) = 0
よって、>>136より f - P(s_1、...、s_(n-1)) は X_n で割れる。
f - P(s_1、...、s_(n-1)) は対称多項式であるから各項は X_i (1 ≦ i ≦ n - 1)で割れる。
よって、f - P(s_1、...、s_(n-1)) は s_n = (X_1)...(X_n) で割れる。
よって、f = P(s_1、...、s_(n-1)) + (s_n)h となる h ∈ A[X_1、...、X_(n-1)] がある。
任意の σ ∈ Sym({1、...、n})(>>6)をこの等式の両辺に作用(>>64)させると
f = P(s_1、...、s_(n-1)) + (s_n)σh
よって、(s_n)h = (s_n)σh
>>159より h = σh
よって、h は対称多項式である。

deg P(s_1、...、s_(n-1)) = deg P(t_1、...、t_(n-1)) = deg ψ(f) ≦ deg f = m
よって、deg (s_n)h = deg(f - P(s_1、...、s_(n-1)) ≦ m
deg (s_n)h = n + deg h だから deg h ≦ m - n < m

よって、帰納法の仮定より h = Q(s_1、...、s_n) となる Q ∈ A[X_1、...、X_n] がある。
Q の重さは deg h に等しくなるように Q を選べる。
G(X_1、...、X_n) = P(X_1、...、X_(n-1)) + X_nQ(X_1、...、X_n) とおけば
G(X_1、...、X_n) ∈ A[X_1、...、X_n] で f = G(s_1、...、s_n) である。
P の重さ = deg ψ(f) ≦ deg f = m
Q の重さ = deg h ≦ m - n
よって、X_nQ の重さ ≦ m
よって、G の重さ ≦ m
G の重さ < m なら deg f < m となって矛盾。
よって、G の重さ = m
証明終

153 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 15:50:12.72
定義
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
A = A_0 + A_1 + ...とアーベル群 A_n の直和に分解するとする。
(A_n)(A_m) ⊂ A_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。
このとき A を次数付き環(graded ring)と呼ぶ。

154 :132人目の素数さん:2012/03/09(金) 16:13:33.10
:Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/07(水) 08:30:49.56
一生読まずに積んでおくだけの可能性もあるがw




155 :132人目の素数さん:2012/03/09(金) 16:14:42.93
470 名前:Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 10:43:17.39
そりゃ問題の意味がまったく違う。

(略)

472 名前:132人目の素数さん :2012/03/09(金) 11:53:41.41
>>470
議論を発散させて何をごまかしている?

156 :132人目の素数さん:2012/03/09(金) 16:26:33.74
>>155
ちゃんと引用しろよ
それだと472はアホだということがわからない


157 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 16:41:31.82
命題
A = A_0 + A_1 + ...を次数付き環(>>153)とする。
このとき A_0 は A の部分環である。

証明
(A_0)(A_0) ⊂ A_0 だから 1 ∈ A_0 を示せば良い。

1 = e_0 + ...+ e_n とする(n ≧ 1)。
ここで、各 e_i ∈ A_i である。

e_0 = e_0(e_0 + ...+ e_n) = e_0e_0 + e_0e_1 + ...+ e_0e_n
e_0e_i ∈ A_i、i = 1、...、n
よって、
e_0e_0 = e_0
e_0e_1 = e_0e_2 = ...= e_0e_n = 0

e_n = (e_0 + ...+ e_n)e_n = e_0e_n + e_1e_n + ...+ e_ne_n
上記より e_0e_n = 0
e_ie_n ∈ A_(i+n)、i = 1、...、n
よって、e_ie_n = 0、i = 1、...、n
よって、e_n = 0

同様に e_1 = ...= e_(n-1) = 0
よって、1 = e_0 ∈ A_0
証明終

158 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 17:07:50.16
定義
A を可換環とする。
B を必ずしも可換とは限らない A-線型環(過去スレpart1の97)とする。
B = B_0 + B_1 + ...と A-部分加群 B_n の直和に分解するとする。
(B_n)(B_m) ⊂ B_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。
このとき B を次数付き A-線型環(graded A-algebra)と呼ぶ。

159 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 18:16:05.20
定義
A を可換環とする。
B と C を次数付き A-線型環(>>158)とする。
f:B → C を A-線型環としての準同型とする。
各整数 n ≧ 0 n に対して f(B_n) ⊂ C_n となるとき f を次数付き A-線型環としての準同型と言う。

160 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 18:20:17.25
命題
A を可換環とする。
B と C を次数付き A-線型環(>>158)とする。
f:B → C を次数付き A-線型環としての準同型(>>159)とする。
1_B と 1_C をそれぞれ B と C の恒等写像とする。
次数付き A-線型環としての準同型 g:C → B で gf = 1_B、fg = 1_C となるものがあるとき
f を次数付き A-線型環としての同型写像または同型と呼ぶ。
このとき B と C は次数付き A-線型環として同型であると言う。

161 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 18:21:03.59
>>160の修正

定義
A を可換環とする。
B と C を次数付き A-線型環(>>158)とする。
f:B → C を次数付き A-線型環としての準同型(>>159)とする。
1_B と 1_C をそれぞれ B と C の恒等写像とする。
次数付き A-線型環としての準同型 g:C → B で gf = 1_B、fg = 1_C となるものがあるとき
f を次数付き A-線型環としての同型写像または同型と呼ぶ。
このとき B と C は次数付き A-線型環として同型であると言う。

162 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 18:33:27.47
命題
A を可換環とする。
B と C を次数付き A-線型環(>>158)とする。
f:B → C を次数付き A-線型環としての準同型(>>159)とする。
f は全単射であるとする。
このとき f は 次数付き A-線型環としての同型(>>161)である。

証明
各整数 n ≧ 0 に対して f(B_n) = C_n であることを示せば良い。
任意の y_n ∈ C_n をとる。
f は全射だから f(x) = y_n となる x ∈ B がある。
x = x_0 + ...+ x_m とする。
ここで m ≧ n である。
f(x) = f(x_0) + ...+ f(x_m)
各 i (1 ≦ i ≦ m)に対して f(x_i) ∈ C_i であるから
i = n のとき f(x_i) = y_n
i ≠ n のとき f(x_i) = 0 である。
f は単射だから i ≠ n のとき x_i = 0 である。
よって、x = x_n である。
よって、f(B_n) = C_n である。
証明終

163 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 19:32:37.93
記法
a = (a_1、...、a_n) を (Z+)^n(>>73)の元とする。
a_1 + ...+ a_n を |a| と書く。
a_1 + 2a_2 + ...+ na_n を wt(a) と書く(wt は重さweightの略)。

164 :あのこうちやんは始皇帝だった:2012/03/09(金) 19:34:44.52

 お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ!!!!!!!

 ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ!!!!!!!


165 :132人目の素数さん:2012/03/09(金) 19:41:22.45
>>164
お前は被災地にいけ!!!!!!!!!!!!!11@@@@

166 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 19:46:35.32
命題
a と b を (Z+)^n(>>73)の元とする。
>>98で a + b が定義された。
このとき
(1)|a + b| = |a| + |b|
(2)wt(a + b) = wt(a) + wt(b) である。

証明
a = (a_1、...、a_n)、b = (a_1、...、a_n) とする。
a + b = (a_1 + b_1、...、a_n + b_n) である。

(1)
|a + b|
= (a_1 + b_1) + ...+ (a_n + b_n)
= (a_1 + ...+ a_n) + (b_1 + ...+ b_n)
= |a| + |b|

(2)
wt(a + b)
= (a_1 + b_1) + 2(a_2 + b_2) + ...+ n(a_n + b_n)
= (a_1 + 2a_2 + ...+ na_n) + (b_1 + 2b_2 + ...+ nb_n)
= wt(a) + wt(b)
証明終

167 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 19:59:08.88
定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
整数 p ≧ 0 に対して単項式 X^a = (X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) で
p = |a|(>>163)となるもの全体で生成される B の A-部分加群を B_p とする。
B = B_0 + B_1 + ...と直和分解される。
>>166より (B_p)(B_q) ⊂ B_(p+q) である。
よって、B は次数付き A-線型環(>>158)となる。
B_p の各元 ≠ 0 は p 次の同次多項式である。
このとき B の次数付けは同次であると言う。

168 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 20:02:42.56
定義
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
整数 p ≧ 0 に対して単項式 X^a = (X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) で
p = wt(a)(>>163)となるもの全体で生成される B の A-部分加群を B_p とする。
B = B_0 + B_1 + ...と直和分解される。
>>166の(2)より (B_p)(B_q) ⊂ B_(p+q) である。
よって、B は次数付き A-線型環(>>158)となる。
B_p の各元 ≠ 0 は p 次の同重多項式(>>130)である。
このとき B の次数付けは同重であると言う。

169 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 22:02:08.22
定義
A を可換環とする。
B を次数付き A-線型環(>>158)とする。
C を B の A-線型部分環(過去スレpart1の108)とする。
C が A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、...の直和であるとき C を B の次数付き A-線型部分環と言う。

170 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 22:08:05.98
定義
A を可換環とする。
B を次数付き A-線型環(>>158)とする。
B の任意の元 x は x = Σx_n と一意に書ける。
ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、...である。
このとき、各 x_n を x の n 次の同次成分と呼ぶ。

171 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 22:22:18.99
命題
A を可換環とする。
B を次数付き A-線型環(>>158)とする。
C を B の A-線型部分環(過去スレpart1の108)とする。
C が B の次数付き A-線型部分環(>>169)であるためには
C の任意の元の各同次成分(>>170)が C に属すことが必要十分である。

証明
必要性:
C が B の次数付き A-線型部分環であるとする。
C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、...の直和である。
よって、C の任意の元 x は x = Σy_n と一意に書ける。
ここで y_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、...である。
他方、x = Σx_n と一意に書ける。
ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、...である。
よって、y_n = x_n、n = 0、1、...である。
よって、各 x_n は C に属す。

十分性:
C の任意の元の各同次成分が C に属すとする。
C の任意の元 x は x = Σx_n と一意に書ける。
ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、...である。
仮定より各 x_n は C に属すから x_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、...である。
よって、C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、...の直和である。
よって、C は B の次数付き A-線型部分環である。
証明終

172 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 22:30:27.11
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B の次数付けを同次(>>167)として B を次数付き A-線型環(>>158)と見なす。
このとき、A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)は B の次数付き A-線型部分環(>>169)である。

証明
>>65>>171より明らかである。

173 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 23:16:06.43
定義
A を可換環とする。
B を A-線型環(過去スレpart1の97)とする。
B = B_0 + B_1 + ...を A-部分加群 B_n の直和とし、
(B_n)(B_m) ⊂ B_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。
>>158より B は次数付き A-線型環(>>158)となる。
このとき、各 B_n を B の n 次の同次成分と呼ぶ。

174 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 23:27:30.14
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n)を B における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
B の次数付けを同次(>>167)として B を次数付き A-線型環(>>158)と見なす。
>>172より A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)は B の次数付き A-線型部分環(>>169)である。

C = A[Y_1、...、Y_n] を n 変数の多項式環とする。
C の次数付けを同重(>>168)として C を次数付き A-線型環と見なす。

A-線型環としての準同型 ψ:C → A[X_1、...、X_n]_sym を
ψ(Y_k) = s_k、k = 1、...、n で定義する。

このとき ψ は次数付き A-線型環としての同型(>>161)である。

証明
>>111より ψ は全射である。
>>120より ψ は単射である。
各整数 p ≧ 0 に対して C_p を C の p 次の同次成分(>>173)とする。
C_p は単項式 Y^a = (Y_1)^(a_1)...(Y_n)^(a_n) で
p = wt(a) (>>163)となるもの全体で生成される C の A-部分加群である。
ψ(Y_a) = (s_1)^(a_1)...(s_n)^(a_n) であるから
deg ψ(Y_a) = a_1 + 2a_2 + ...+ na_n = wt(a) = p
よって、ψ(C_p) ⊂ B_p である。
ここで B_p は B の p 次の同次成分である。
よって、ψ は次数付き A-線型環としての準同型(>>159)である。
よって、>>162より ψ は次数付き A-線型環としての同型である。
証明終

175 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 23:35:30.07
注意
>>174より>>127の別証が直ちに得られる。
>>127の証明より>>174の方が明解である。
同様に>>151において重さに関する部分は>>174に任したほうが良い。

176 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 23:55:36.39
>>175を踏まえて>>111の別証

命題
A を可換環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n) を次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
f を A[X_1、...、X_n]_sym(>>64)を任意の元とする。
このとき f = G(s_1、...、s_n) となる G ∈ A[X_1、...、X_n] が存在する。

証明
m = deg f(>>134)とする。
n と m に関する2重帰納法を使う。
n ≦ 1 のときは自明である。
n > 1 とする。

A[X_1、...、X_(n-1)]-線型環(過去スレpart1の97)としての準同型
ψ:A[X_1、...、X_n] → A[X_1、...、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 により定める。
t_k(1 ≦ k ≦ n - 1) を A[X_1、...、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
>>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t_(k-1)X_n
よって、ψ(s_k) = t_k

(続く)

177 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/09(金) 23:56:20.62
>>176の続き

ψ(f) は対称多項式であるから帰納法の仮定より P ∈ A[X_1、...、X_(n-1)] があり
ψ(f) = P(t_1、...、t_(n-1)) となる。
ψ(f - P(s_1、...、s_(n-1))) = P(t_1、...、t_(n-1)) - P(t_1、...、t_(n-1)) = 0
よって、>>136より f - P(s_1、...、s_(n-1)) は X_n で割れる。
f - P(s_1、...、s_(n-1)) は対称多項式であるから各項は X_i (1 ≦ i ≦ n - 1)で割れる。
よって、f - P(s_1、...、s_(n-1)) は s_n = (X_1)...(X_n) で割れる。
よって、
f = P(s_1、...、s_(n-1)) + (s_n)h となる h ∈ A[X_1、...、X_(n-1)] がある。

任意の σ ∈ Sym({1、...、n})(>>6)をこの等式の両辺に作用(>>64)させると
f = P(s_1、...、s_(n-1)) + (s_n)σh
よって、(s_n)h = (s_n)σh
>>159より h = σh
よって、h は対称多項式である。

deg P(s_1、...、s_(n-1)) = deg P(t_1、...、t_(n-1)) = deg ψ(f) ≦ deg f = m
よって、deg (s_n)h = deg(f - P(s_1、...、s_(n-1)) ≦ m
deg (s_n)h = n + deg h だから deg h ≦ m - n < m

よって、帰納法の仮定より h = H(s_1、...、s_n) となる H ∈ A[X_1、...、X_n] がある。
G(X_1、...、X_n) = P(X_1、...、X_(n-1)) + X_nH(X_1、...、X_n) とおけば
f = G(s_1、...、s_n) である。
証明終

178 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/10(土) 10:43:27.82
定義
K を可換体とする。
L = K(X_1、...、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体(>>8)とする。
G を {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
>>10より G は Aut(L/K)(過去スレpart4の847)の部分群と見なされる。
G の固定体(過去スレpart4の863)を K(X_1、...、X_n)_sym と書き
K 上の n 変数の対称有理関数体と言う。
K(X_1、...、X_n)_sym の元を K 上の n 変数の対称有理関数と呼ぶ。

179 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/10(土) 11:52:26.01
命題
K を可換体とする。
L = K(X_1、...、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体(>>8)とする。
K(X_1、...、X_n)_sym(>>6)は K[X_1、...、X_n]_sym(>>64)の商体である。

証明
A = K[X_1、...、X_n]
S = K(X_1、...、X_n)_sym
R = K[X_1、...、X_n]_sym
とおく。
R の商体を M とする。
R ⊂ S だから M ⊂ S
よって、逆の包含関係を示せば良い。

G を {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
f ∈ S を任意の対称有理関数とする。
f = g/h、g ∈ A、h ∈ A と書ける。
h’= Π[σ ∈ G]σh とおく。
h’∈ R である。
h ≠ 0 だから h’≠ 0 である。
g’= h’f とおく。
g’= h’(g/h) ∈ A
一方、g’は対称有理関数の積だから対称有理関数である。
よって、g’∈ A ∩ S = R
よって、f = g’/h’∈ M
よって、S ⊂ M
証明終

180 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/10(土) 12:04:00.06
>>179の修正

命題
K を可換体とする。
L = K(X_1、...、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体(>>8)とする。
K(X_1、...、X_n)_sym(>>178)は K[X_1、...、X_n]_sym(>>64)の商体である。

証明
A = K[X_1、...、X_n]
S = K(X_1、...、X_n)_sym
R = K[X_1、...、X_n]_sym
とおく。
R の商体を M とする。
R ⊂ S だから M ⊂ S
よって、逆の包含関係を示せば良い。

G を {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
f ∈ S を任意の対称有理関数とする。
f = g/h、g ∈ A、h ∈ A と書ける。
h’= Π[σ ∈ G]σh とおく。
h’∈ R である。
h ≠ 0 だから h’≠ 0 である。
g’= h’f とおく。
g’= h’(g/h) ∈ A
一方、g’は対称有理関数の積だから対称有理関数である。
よって、g’∈ A ∩ S = R
よって、f = g’/h’∈ M
よって、S ⊂ M
証明終

181 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/10(土) 12:07:20.29
命題
K を可換体とする。
A = K[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n)を A における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
L = K(X_1、...、X_n) を n 変数の有理関数体(>>8)とする。
このとき、K(X_1、...、X_n)_sym(>>178)= K(s_1、...、s_n)である。

証明
>>111より K[X_1、...、X_n]_sym = K[s_1、...、s_n]
よって、>>180より K(X_1、...、X_n)_sym = K(s_1、...、s_n)
証明終

182 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 05:29:29.64
命題
K を可換体とする。
f(X) を K 係数の定数でない1変数多項式とする。
L/K を f(X) の最小分解体(過去スレpart4の542)とする。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
f(X) の L における根全体の集合を S とする。
任意の σ ∈ G に対して σ(S) ⊂ S であり S は有限集合であるから σ(S) = S である。
よって、σ は S の置換を引き起こす。
よって S は G-集合(過去スレpart5の77)となる。
このとき S は忠実(過去スレpart5の843)な G-集合である。

証明
σ ∈ G が S の恒等写像を引き起こすとする。
σ = 1 を示せば良い。
S = {α_1、...、α_m} とする。
L = K(α_1、...、α_m) (過去スレpart4の539)である。
過去スレpart4の609より L = K[α_1、...、α_m] である。
よって L の任意の元 x に対して x = G(α_1、...、α_m) となる G ∈ K[X_1、...、X_m] がある。
σ(x) = σ(G(α_1、...、α_m)) = G(σ(α_1)、...、σ(α_m)) = G(α_1、...、α_m) = x
よって、σ = 1 である。
証明終

183 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 05:45:19.02
命題
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的(過去スレpart4の694)な多項式とする。
L/K を f(X) の最小分解体(過去スレpart4の542)とする。
このとき L/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。

証明
過去スレpart4の876より L/K は正規拡大(過去スレpart4の844)である。
よって、L/K が分離的(過去スレpart4の843)なことを証明すれば良い。
f(X) の L における根全体の集合を {α_1、...、α_n} とする。
L = K(α_1、...、α_n)(過去スレpart4の539)である。
各 i (1 ≦ i ≦ n)に対して g_i(X) を α_i の K 上の最小多項式(過去スレpart4の554)とする。
f(α_i) = 0 であるから f(X) は g_i(X) で割れる。
f(X) は分離的であるから g_i(X) も分離的である。
よって、α_i は K 上分離的(過去スレpart4の841)である。
よって、過去スレpart1の271より L/K は分離的である。
証明終

184 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 06:00:41.86
命題
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的(過去スレpart4の694)な多項式とする。
L/K を f(X) の最小分解体(過去スレpart4の542)とする。
f(X) の次数を n とする。
このとき [L : K] ≦ n! である。

証明
>>183より L/K はGalois拡大(過去スレpart4の848)である。
G = Aut(L/K)(過去スレpart4の847)とする。
過去スレpart1の317より |G| = [L : K] であるから |G| ≦ n! を示せば良い。
f(X) の L における根全体の集合を S = {α_1、...、α_n} とする。
>>182より S は忠実な G-集合である。
よって、G は S 上の対称群 Sym(S)(>>6)の部分群と同型である。
|Sym(S)| = n! であるから |G| ≦ n! である。
証明終

185 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 06:22:25.30
Galois理論を使って>>181の別証をしよう。

命題
K を可換体とする。
A = K[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(0 ≦ k ≦ n)を A における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
L = K(X_1、...、X_n) を n 変数の有理関数体(>>8)とする。
このとき、K(X_1、...、X_n)_sym(>>178)= K(s_1、...、s_n)である。

証明
S = K(X_1、...、X_n)_sym とおく。
M = K(s_1、...、s_n) とおく。

G を {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
>>10より G は Aut(L/K)(過去スレpart4の847)の部分群と見なされる。
S は G の固定体(過去スレpart4の863)だから
Artinの定理(過去スレpart1の438)より L/S はGalois拡大(過去スレpart4の844)で
G = Aut(L/S) である。
過去スレpart1の317より |G| = [L : S] であるから [L : S] = n! である。

(続く)

186 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 06:23:32.50
>>185の続き

L[Z] を1変数の多項式環とする。
f(Z) = (Z - X_1)...(Z - X_n) ∈ L[Z] である。
>>70より
f(Z) = Σ[k = 0、...、n ] (-1)^(n-k) s_(n-k) Z^k
よって、f(Z) ∈ M[Z] である。
X_1、...、X_n は f(Z) の根であり、L = M(X_1、...、X_n) であるから
L/M は f(Z) の最小分解体(過去スレpart4の542)である。
f(Z) は分離的(過去スレpart4の694)であるから>>184より [L : M] ≦ n! である。
一方、M ⊂ S だから過去スレpart4の561より [L : M] = [L : S] [S : M]
よって、[L : S] ≦ [L : M]
[L : S] = n! だから n! = [L : S] ≦ [L : M] ≦ n!
よって、[L : S] = [L : M] = n!
よって、[S : M] = 1
よって、S = M
証明終

187 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 06:32:33.46
くだらん

188 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/03/11(日) 06:53:09.90
>>187
下らんのはオマエや。




189 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 07:31:52.43
命題
K を可換体とする。
L = K(α_1、...、α_n)(過去スレpart4の539)とする。
このとき α_1、...、α_n が K 上代数的独立(>>119)であるためには
n = tr.dim L/K(過去スレpart5の36)となることが必要十分である。

証明
必要性:
自明である。

十分性:
n = tr.dim L/K とする。
α_1、...、α_n が K 上代数的独立でないとする。
n = tr.dim L/K であるから α_1、...、α_n の中に K 上代数的でないものがある。
よって、過去スレpart5の34より {α_1、...、α_n} の部分集合で
L/K の超越基底(過去スレpart5の9)であるものが存在する。
{α_1、...、α_n} は L/K の超越基底でないから tr.dim L/K < n となり矛盾である。
証明終

190 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 07:38:02.79
命題
K を可換体とする。
B = K[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(1 ≦ k ≦ n)を B における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
このとき s_1、...、s_n は K 上代数的独立(>>119)である。

証明
L = K(X_1、...、X_n) を n 変数の有理関数体(>>8)とする。
S = K(X_1、...、X_n)_sym(>>178)とおく。
M = K(s_1、...、s_n)とおく。

>>185より S = M である。
>>185の証明より [L : S] = n! である。
よって、L/M = L/S は有限次拡大である。
過去スレpart5の38より
tr.dim L/K = tr.dim L/M + tr.dim M/K

tr.dim L/K = n
L/M = L/S は有限次拡大であるから tr.dim L/M = 0
よって、tr.dim M/K = n
よって、>>189より s_1、...、s_n は K 上代数的独立である。
証明終

191 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 07:40:45.23
注意
>>190>>120において A が体の場合の別証である。

192 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 09:59:29.46
命題
K と L を可換体とする。
ψ: K → L を同型(過去スレpart4の513)とする。
f(X) を K 係数の定数でない1変数多項式とする。
E/K を f(X) の最小分解体(過去スレpart4の542)とする。
(ψf)(X) を f(X) の各係数にψを作用させた多項式とする。
F/L を (ψf)(X) の最小分解体とする。
このとき、Aut(E/K)(過去スレpart4の847)と Aut(F/L) は同型である。

証明
G = Aut(E/K)
H = Aut(F/L)
とする。
過去スレpart4の622より同型 φ:E → F で ψ の拡張となっているものが存在する。
σ ∈ G に対して φσφ^(-1) ∈ H を対応させる写像を f:G → H とする。
τ ∈ H に対して φ^(-1)τφ ∈ G を対応させる写像を g:G → H とする。
f と g は準同型であり互いに逆写像である。
よって、G と H は同型である。
証明終

193 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 11:23:24.40
つまんね

194 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 12:36:13.60
>>187
>>193
アホは判断力がないから何を言っても見当はずれw

195 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 12:43:22.45
は?僻むなwww

196 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 12:46:24.68
は?じゃねえよw

197 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 12:52:08.85
>>Kummer
くだらねぇカキコをするんじゃねぇ

被災者の方に謝罪はしたのか?

198 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 12:54:20.54
何の謝罪?


199 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 12:59:26.36
>>Kummer
さんざん被災者の方を侮辱したあの日の出来事を、絶対に許さない。

200 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/03/11(日) 13:01:01.77
>>197
オマエはド阿呆か。謝罪の必要なんてアラヘン。騒いだら叩くゾ。




201 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/03/11(日) 13:02:50.21
>>199
何故被災者を侮辱した事にナルのかを説明せえや。




202 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 13:23:56.78
さんざん人殺しやレイプをしてきたのに懲りないKummerに謝罪要求とか無意味だろw

203 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 13:59:47.50
命題
A を可換環とする。
B = A[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
B[U] を B 上の1変数の多項式環とする。
このとき
(U + X_1)...(U + X_n) = Σ[k = 0、...、n ] s_k U^(n-k)
ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式(>>66)である。

証明
>>67において V に 1 を代入すればよい。

204 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 14:15:53.20
命題
K を可換体とする。
L = K(a_1、...、a_n) を n 変数の有理関数体(>>8)とする。
f(X) = X^n + a_1X^(n-1) + ...+ a_(n-1)X + a_n ∈ L[X] の最小分解体(過去スレpart4の542)を
E/L とする。
このとき E/L はGalois拡大(過去スレpart4の844)であり、
Aut(E/L) は集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)と同型である。

証明
A = K[X_1、...、X_n] を n 変数の多項式環とする。
s_k(0 ≦ k ≦ n)を A における次数 k の基本対称多項式(>>66)とする。
M = K(X_1、...、X_n) を n 変数の有理関数体(>>8)とする。
G を {1、...、n} 上の対称群とする。
>>10より G は Aut(M/K)(過去スレpart4の847)の部分群と見なされる。
S = K(s_1、...、s_n)とする。
>>185より S = K(X_1、...、X_n)_sym(>>178)である。
よって、S は G の固定体(過去スレpart4の863)だから
Artinの定理(過去スレpart1の438)より M/S はGalois拡大(過去スレpart4の844)で
G = Aut(M/S) である。

>>203より
(U + X_1)...(U + X_n) = Σ[k = 0、...、n ] s_k U^(n-k)
よって、M/S は g(U) = (U + X_1)...(U + X_n) ∈ S[U] の最小分解体(過去スレpart4の542)である。

>>189より s_1、...、s_n は K 上代数的独立である。
よって、K-同型(過去スレpart4の514)ψ:L → S で各 i (1 ≦ i ≦ n)に対して
ψ(a_i) = s_i となるものがある。
(ψf)(X) を f(X) の各係数にψを作用させた多項式とする。
ψf = g(X) であるから>>192より Aut(E/L) は G = Aut(M/S) に同型である。
証明終

205 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 15:15:06.00
定義
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
i_1 < i_2 < ...< i_r を I の元の列とする。
J = {i_1、...、i_r} とする。
σ ∈ G で
σ(i_1) = i_2、...、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり
I - J の任意の元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、
σ = (i_1、...、i_r) と書く。
r を σ の長さと呼ぶ。

206 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 15:21:28.52
>>205
通常の巡廻置換の定義と違うがな
例えば (1324)

207 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 15:22:28.90
定義
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
σ = (i_1、...、i_r) を G の巡回置換(>>205)とする。
集合 {i_1、...、i_r} を σ の台と呼ぶ。

208 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 15:29:34.78
>>206
有難うございます
見てる人もいるということでw

209 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 15:29:47.78
定義だから自由と云えば自由だが。

210 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 15:38:08.87
>>205の修正

定義
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
J = {i_1、...、i_r} を I の空でない部分集合で |J| = r とする。
σ ∈ G で
σ(i_1) = i_2、...、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり
I - J の各元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、
σ = (i_1、...、i_r) と書く。
r を σ の長さと呼ぶ。

211 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 15:43:15.39
>>207の修正

定義
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
σ = (i_1、...、i_r) を G の巡回置換(>>210)とする。
集合 {i_1、...、i_r} を σ の台と呼ぶ。

212 :132人目の素数さん:2012/03/11(日) 19:21:51.35
>>188
>名前:猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY [age] 投稿日:2012/03/11(日) 06:53:09.90

猫はこんな早朝でも熊のスレに貼りついてるのか?ww リアルタイムで追っていたら笑える。

猫と熊って似てるw

213 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/11(日) 19:30:11.47
命題
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
G の任意の元は台(>>211)が互いに交わらない巡回置換(>>210)の積として一意に表される。

証明
σ を G の任意の元とする。
σ で生成される G の巡回部分群を H とする。
H は I 上の置換群(>>7)と見なされる。
よって、過去スレpart5の92より I は H による軌道により直和分割される。
i を I の任意の元とする。
Z を有理整数環とする。
O(i) = {σ^m(i); m ∈ Z} を i の H に関する軌道(過去スレpart5の92)とする。
σ^m(i) = i となる最小の整数 m ≧ 1 を r とする。
任意の整数 m に対して m = rq + k、0 ≦ k < r となる整数 q、k が存在する。
σ^m(i) = σ^k(i) である。
よって、O(i) = {i、σ(i)、...、σ^(r-1)(i)} となる。
このとき τ = (i、σ(i)、...、σ^(r-1)(i)) は長さ r の巡回置換(>>210)であり、
σ は O(i) 上で τ と一致する。
I は軌道により直和分割されるから σ は台が互いに交わらない巡回置換の積として表される。
これが一意であることは明らかである。
証明終

214 :あのこうちやんは始皇帝だった:2012/03/11(日) 19:58:03.24

 ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもは、福島原発の作業員となって、

 少しでも、人の役に立て!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


215 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 05:42:34.10
定義
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
G の長さ 2 の巡回置換(>>210)を互換と言う。

216 :132人目の素数さん:2012/03/12(月) 05:48:12.63
>>Kummer
朝から屑みたいなカキコをしおって…

被災者の方への謝罪はどうなったんだ?

217 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 05:53:24.45
命題
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
G の任意の元は互換(>>211)の積として表される。

証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは任意の元は 0 個の互換の積として表される。
n > 1 とする。
σ を G の任意の元とする。
σ(n) = n なら σ は {1、...、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より互換の積として表される。
σ(n) = m、n ≠ m とする。
τ を互換 (n, m) とする。
τσ(n) = n だから τσ は {1、...、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より τσ は 互換の積として表される。
よって、σ = τ(τσ) は 互換の積として表される。
証明終

218 :132人目の素数さん:2012/03/12(月) 06:43:14.94
>>Kummer
朝から屑みたいなカキコをしおって…

被災者の方への謝罪はどうなったんだ?

219 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/03/12(月) 06:49:40.13
>>218
何でKummer氏が被災者に謝罪せなアカンのや? ソレよりもオマエが低脳税
を納めろや。ソコまで頭が悪いと低脳税が高いゾ。




220 :132人目の素数さん:2012/03/12(月) 06:52:44.04
>>Kummer
オマエだけは許さない。

221 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/03/12(月) 06:57:30.24
>>220
でも許さなくても何も変わらない。馬鹿が苛立つだけ。




222 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 07:07:22.41
>>217の修正

命題
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
G の任意の元は互換(>>215)の積として表される。

証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは任意の元は 0 個の互換の積として表される。
n > 1 とする。
σ を G の任意の元とする。
σ(n) = n なら σ は {1、...、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より互換の積として表される。
σ(n) = m、n ≠ m とする。
τ を互換 (n, m) とする。
τσ(n) = n だから τσ は {1、...、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。
よって、帰納法の仮定より τσ は 互換の積として表される。
τ^2 = 1 だから σ = (ττ)σ = τ(τσ)
よって、σ は 互換の積として表される。
証明終

223 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 07:09:16.13
命題
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
G の任意の元は (1, k)、k = 2、...、n の形の互換(>>215)の積として表される。

証明
(a, b) を互換とする。
1 ≠ a、1 ≠ b のとき (a, b) = (1, a)(1, b)(1, a)
よって、本命題は>>222より直ちに得られる。
証明終

224 :132人目の素数さん:2012/03/12(月) 07:16:24.05
>>Kummer
俺の怒りのボルテージはとっくに満タンじゃ。

そろそろ突き抜けそうだがな。

225 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 07:24:45.70
命題
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
G の長さ r の巡回置換(>>210)は r - 1 個の互換(>>215)の積となる。
即ち、(a_1、...、a_r) = (a_1, a_r)(a_1, a_(r-1))...(a_1, a_2)

証明
自明である。

226 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 08:00:53.10
命題
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
σ = (a_1、...、a_r) を G の巡回置換(>>210)とする。
このとき、任意の τ ∈ G に対して
τστ^(-1) = (τ(a_1)、...、τ(a_r))

証明
自明である。

227 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 08:11:41.78
命題
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
G の任意の元は (k, k + 1)、k = 1、...、n - 1 の形の互換(>>215)の積として表される。

証明
>>223より (1, k)、k = 2、...、n の形の互換が
(k, k + 1)、k = 1、...、n - 1 の形の互換の積となることを証明すれば良い。
n に関する帰納法を使う。
n ≦ 2 のときは自明である。
n > 2 とする。
1 < k < n のとき帰納法の仮定より (1, k) は
(k, k + 1)、k = 1、...、n - 2 の形の互換の積となる。

>>226より (1, n) = (n - 1, n)(1, n - 1)(n - 1, n)
ここで (1, n - 1) は上記より (k, k + 1)、k = 1、...、n - 2 の形の互換の積となる。
よって、(1, n) は (k, k + 1)、k = 1、...、n - 1 の形の互換の積となる。
証明終

228 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 08:24:08.67
定義
G を I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
σ を G の元とする。
I の元の組 (i, j) ∈ I×I で i < j かつ σ(i) > σ(j) となるものを σ の転移という。
σ の転移の個数を ν(σ) と書く。

229 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 08:49:11.33
命題
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
Z を有理整数環とする。
A = Z[X_1、...、X_n] を Z 係数の n 変数の多項式環とする。
>>64より A は G-集合(過去スレpart5の77)となる。
A の元 Δ = Π[i < k] (X_i - X_k) を考える。
このとき、任意の σ ∈ G に対して σΔ = (-1)^ν(σ) Δ である。
ここで、ν(σ) は σ の転移の個数(>>228)である。

証明
自明である。

230 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 09:01:14.40
定義
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
σ を G の元とする。
Z を有理整数環とする。
(-1)^ν(σ) ∈ Z を σ の符号と呼び sgn(σ) と書く。
ここで、ν(σ) は σ の転移の個数(>>228)である。

231 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 09:17:25.39
命題
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
Z を有理整数環とする。
{-1、1} を Z の乗法に関する可逆元からなる群とする。
σ ∈ G に sgn(σ)(>>230)を対応させる写像 sgn:G → {-1、1} は群としての準同型である。

証明
A = Z[X_1、...、X_n] を Z 係数の n 変数の多項式環とする。
>>64より A は G-集合(過去スレpart5の77)となる。
A の元 Δ = Π[i < k] (X_i - X_k) を考える。
σ と τ を G の元とする。
>>229より (στ)Δ = σ(τΔ) = σ(sgn(τ)Δ) = sgn(τ)sgn(σ)Δ
一方、(στ)Δ = sgn(στ)Δ
よって、sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ)
証明終

232 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 09:28:28.44
命題
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
G の任意の互換(>>215)σ に対して sgn(σ) = -1 である。

証明
ρ = (n - 1、n) とする。
ρ の転移(>>228)の個数は 1 である。
よって、sgn(ρ) = -1 である。
>>226より τ ∈ G で σ = τρτ^(-1) となるものがある。
>>231より
sgn(σ) = sgn(τρτ^(-1)) = sgn(τ)sgn(ρ)sgn(τ^(-1)) = sgn(ρ) = -1
証明終

233 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 09:33:15.75
定義
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
σ を G の元とする。
sgn(σ) = 1 のとき σ を偶置換という。
sgn(σ) = -1 のとき σ を奇置換という。

234 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 09:40:16.95
命題
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
σ を G の元とする。
>>222より σ は互換(>>215)の積として表される。
このとき、
σ が偶置換(>>233)であるためには σ が偶数個の互換の積となることが必要十分である。
σ が奇置換(>>233)であるためには σ が奇数個の互換の積となることが必要十分である。

証明
>>231>>232から明らかである。

235 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 09:53:28.67
定義
G を集合 {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
>>231より sgn:G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。
H を {1、...、n} 上の交代群と呼ぶ。
H は G の全ての偶置換(>>233)からなる。

236 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 09:58:48.88
定義
G を集合 I = {1、...、n} 上の対称群(>>6)とする。
H を I 上の交代群(>>235)とする。
このとき H は G の指数 2 の正規部分群である。
よって、H の位数は n!/2 である。

証明
>>232より sgn:G → {-1、1} は全射であるから G/H は {-1、1} と同型である。
証明終

237 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 10:41:44.41
命題
H を集合 {1、...、n} 上の交代群(>>235)とする。
H の任意の元は長さ 3 の巡回置換(>>210)の積となる。

証明
n < 3 のときは自明だから n ≧ 3 とする。
>>223>>234より H の任意の元は (1, k)、k = 2、...、n の形の互換(>>215)の偶数個の積として
表される。

3 ≦ a、b ≦ n とする。

>>225より
@)(1, a)(1, 2) = (1, 2, a)
A) (1, 2)(1, b) = (1, b, 2)

よって、
B) (1, a)(1, b) = (1, a)(1, 2)(1, 2)(1, b) = (1, 2, a)(1, b, 2)

(1, k)、k = 2、...、n の形の互換の2個の積は同じもの同士の積を除けば上記の場合で尽くされる。
証明終

238 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 10:54:31.65
定義(>>210の拡張)
G を有限集合 I 上の対称群(>>6)とする。
J = {i_1、...、i_r} を I の空でない部分集合で |J| = r とする。
σ ∈ G で
σ(i_1) = i_2、...、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり
I - J の各元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、
σ = (i_1、...、i_r) と書く。
r を σ の長さと呼ぶ。

239 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 10:56:48.23
定義(>>211の拡張)
G を有限集合 I 上の対称群(>>6)とする。
σ = (i_1、...、i_r) を G の巡回置換(>>238)とする。
集合 {i_1、...、i_r} を σ の台と呼ぶ。

240 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 10:58:34.62
定義(>>215の拡張)
G を有限集合 I 上の対称群(>>6)とする。
G の長さ 2 の巡回置換(>>238)を互換と言う。

241 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/12(月) 11:05:17.09
命題(>>213の拡張)
G を有限集合 I 上の対称群(>>6)とする。
G の任意の元は台(>>239)が互いに交わらない巡回置換(>>238)の積として一意に表される。

証明
>>213と同様である。

242 :132人目の素数さん:2012/03/13(火) 00:58:14.65
>>208
構ってもらってうれしそうだねww

243 :132人目の素数さん:2012/03/13(火) 04:46:09.60
>>Kummer
くだらねぇ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

244 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/03/13(火) 06:27:07.42
>>243
『くだらねぇ〜』のはアンタの脳や。そやし腐る前に摘出して貰え。




245 :132人目の素数さん:2012/03/14(水) 04:23:19.44
>>Kummer
オイ、挨拶シロ。

246 :132人目の素数さん:2012/03/14(水) 06:07:10.51
なんでいまさらしょうもないことやってんの
工程表をもう一回くれ。各スレの始めに目次と進み具合を書いてよ
わかりにくくてしょうがないわ

247 :132人目の素数さん:2012/03/14(水) 15:02:03.49
よこから失礼します。
>>246 工程表
ガロア生誕200周年記念スレ part 4
に書き込まれたものが以下。
---------------- ココカラ --------
158 :132人目の素数さん:2012/01/08(日) 19:23:09.09
>>153
工程表:
無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
---------------- ココマデ --------


248 :132人目の素数さん:2012/03/14(水) 15:09:10.82
>>247
お前に聞いとらん 失せろ

249 :132人目の素数さん:2012/03/14(水) 15:17:19.47
>>246 わかりにくくてしょうがないわ
ガロア生誕200周年記念スレ part 4 にも 同様の書き込みが。
100 :132人目の素数さん は、Kummerとは別の人とおもわれる
------------------------ ここから ---------
100 :132人目の素数さん:2012/01/08(日) 12:27:28.55
>>94
検索しやすくなるように、索引を適宜つくってほしい
そうしないと、書き込んだ本人しか分からない(事態になってしまうように…)
(杞憂?)
------------------------ ここまで --------

250 :132人目の素数さん:2012/03/14(水) 15:25:13.78
>>248 あら、スイませーん 〜♪


251 :132人目の素数さん:2012/03/15(木) 06:59:25.25
 ( フェルマー予想が成立するための十分条件が、
      ,' /       ,ヽ   `、 `</':, ':, ( 志村ー谷山予想が成立することですわ。さくらちゃん
     ,''´    ':,    ';,゙:、   ';,  ゙、  ';, ',(
    ,'.       }; !  ',',|゙、  l゙,   !  |', !  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄l/ ̄ヽ ヽ、 ̄':, ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
    !.     |   |l |;  | ! ,l  N  |  ,' |l .,'              ゙、  \ ',
   , | |  .,'|  レl ,'.l ,'   ! / } / / './     ,:'   ,.,          ',_..-''" !
   ! | !  .,' レ/ |/ |.,:'   ノ"_ ",'/ ,〃    ,,;''   .,','           } }   !
   | | ,'| ,,/イ, ' ´ '´   ,;:=::ッ1}-;==;;;;;;;; '∠_  ,:'/     , ,    |,'   !
 l  ',',.レ!./ ノ' _.......     ´   | |     ̄`゙゙゙゙" ̄'´'、_    ,':,'  , ,'    !
  !  ',', l' _,;;:'''"゙゙゙`           l lヾ:、 ..___      `ミ;;、 /:/   ,'.,'   |
  ', ', ゙;、 ブ´ .....:::::     '   ,ィ j ...`゙゙'==          `ヾ、<.  ,:',:'    !
 ', ', ':, ',` U ::::     、:::ァ'  /!| j ::::::::...       ,、ヽ._   `>ン'´    |
  ';, ':, ':, ヽ.._u       /ィ !レ、         ....ヾ::、、 ,イ〃      |
  ':,''i:、ヽヽ.ヽ ``゙`' ー-,<_ノノ.,イ|_|ヽ    ` ー ´ ::::::... ,:'.ノ','       !
   `',',`ヾ;、ヾ:、---‐‐‐'´ {イ´,','/  ヽ           ノ' ´ l !       |
    ヾ;ノ `ヽ、`      '``ソ'ー‐‐‐-、` --,-‐‐‐ ' ' ´    | |          !
   ̄ ̄ ヾ;、 __∧__ノ'_____`ヽ〈___`ヽ、_________|_|_______l__
       `(
.         (  ほえ〜 さくら、算数とフェラが苦手だからわからないよ……フェラの仕方も教えて


252 :132人目の素数さん:2012/03/17(土) 13:00:33.54
493 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 16:06:56.49
俺にとってこのスレはほとんど俺個人の勉強ノートなんだよ。

253 :132人目の素数さん:2012/03/17(土) 13:01:32.94
>>251 俺は只の数ヲタなんかとは付き合わンな。

頭が良くて数学が出来てかっこいいヤツ。それが十分条件。
さらに arXiv math に論文だせば必要条件にもなる。
俺、一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
良い論文の出版を遅らせるお馬鹿なヤツ。


254 :132人目の素数さん:2012/03/18(日) 18:43:17.42
保守

255 :132人目の素数さん:2012/03/19(月) 17:47:03.43
保守

256 :132人目の素数さん:2012/03/20(火) 04:18:55.31
保守

257 :132人目の素数さん:2012/03/20(火) 14:48:50.64
保守

258 :132人目の素数さん:2012/03/21(水) 00:05:00.20
保守

259 :132人目の素数さん:2012/03/21(水) 10:04:58.06
保守

260 :132人目の素数さん:2012/03/22(木) 02:37:54.75
保守

261 :132人目の素数さん:2012/03/22(木) 22:23:23.59
     _______                     __
    // ̄~`i ゝ                    `l |
    / /        ,______   ,_____    ________  | |  ____ TM
   | |     ___ // ̄ヽヽ // ̄ヽヽ (( ̄))   | | // ̄_>>
   \ヽ、   |l | |    | | | |    | |  ``( (.  .| | | | ~~
      `、二===-'  ` ===' '  ` ===' '  // ̄ヽヽ |__ゝ ヽ二=''
                         ヽヽ___//   日本
         ______________  __
         |街宣車の正体  朝鮮人工作員     .| |検索|←をクリック!!


テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな



262 :132人目の素数さん:2012/03/23(金) 01:15:17.07
保守

263 :132人目の素数さん:2012/03/24(土) 00:08:46.58
保守

264 :132人目の素数さん:2012/03/24(土) 10:16:38.17
>>246
>なんでいまさらしょうもないことやってんの

その質問に答えるからまず質問を明確にしてくれ。

(1)「しょうもないこと」 とは具体的に何を指すのか?

(2)それが 「しょうもない」 (とあんたが思う)理由は何か?

265 :132人目の素数さん:2012/03/24(土) 10:32:16.34
工程表についてだが無限次Galois理論はいいとして類体論は代数的整数論スレでやることにした。
しかもやる順番は
大域類体論 → 局所類体論
としたほうが初心者には理解しやすいだろう。

このスレでは方程式のGalois理論をもう少しやってからGrothendieckのGalois理論をやる予定。
0 次元の場合はいいとして 1 次元以上のGrothendieckのGalois理論を本格的にやろうとすると
スキーム論をやらなくてはならなくなる。
その場合はスレタイを変えたほうがいいかもしれない。

266 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

267 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 10:45:59.89
定義
G を群とする。
X を集合とする。
準同型 f:G → Sym(X)(>>6)を G の X 上の置換表現という(過去スレpart5の77参照)。

268 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

269 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 10:50:24.02
定義
G を群とする。
X を集合とする。
f:G → Sym(X) を G の X 上の置換表現(>>267)とする。
f により X は G-集合(過去スレpart5の77)となる。
このとき X は置換表現 f に付随する G-集合という。

270 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

271 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 10:59:31.35
定義
G を群とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
Set における G-対象(過去スレpart5の75)X とは G-集合(過去スレpart5の77)に他ならない。
このとき標準射(過去スレpart5の75)f:G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現(>>267)という。

272 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

273 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:04:00.84
定義
G を群とする。
X を集合とする。
f:G → Sym(X) を G の X 上の置換表現(>>267)とする。
X の濃度 |X| を f の次数と呼ぶ。

274 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

275 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:08:45.63
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
f:G → Sym(X) を X に付随する置換表現(>>271)とする。
f の次数(>>273)即ち |X| を X の次数という。

276 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:11:45.30
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
f:G → Sym(X) を X に付随する置換表現(>>271)とする。
f の核を G-集合 X の核という。

277 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

278 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:24:10.64
定義
X を集合とする。
G を X 上の置換群(>>7)とする。
包含写像 f:G → Sym(X) は G の X 上の置換表現(>>267)である。
f を G の標準置換表現という。
f の次数(>>273)即ち |X| を G の次数という。

279 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:26:57.96
定義
G を群とする。
過去スレpart5の77より G-集合全体は圏 C をなす。
G-集合の射 f:X → Y は C における同型射のとき同型射または同型写像または同型と呼ぶ。
即ち f は写像として全単射であり、任意の σ ∈ G と任意の x ∈ X に対して f(σx) = σf(x) となる。
このとき X と Y は G-集合として同型であるという。

280 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:30:51.89
定義
G を群とする。
集合としての G は G の正則表現(>>11)により G-集合と見なされる。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
X が G-集合として G と 同型(>>279)なとき X を正則(regular)な G-集合という。

281 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:37:40.59
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
このとき G は集合 X に作用するという。

X が忠実(過去スレpart5の843)な G-集合のとき G は X に忠実に作用するという。
X が推移的(過去スレpart5の107)な G-集合のとき G は X に推移的に作用するという。
X が正則(>>280)な G-集合のとき G は X に正則に作用するという。

282 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:43:44.04
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
x の安定化部分群(過去スレpart5の93)St(x) を Stab_G(x) または Stab(x) とも書く。

283 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:47:42.06
命題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
σ ∈ G、x ∈ X とする。
H = Stab(x)(>>282) とする。
このとき Stab(σx) = σHσ^(-1) である。

証明
自明である。

284 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/24(土) 11:53:29.36
命題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
X が正則(>>280)なためには X が推移的(過去スレpart5の107)であり、
X のある元 x に対して Stab(x) = 1 となることが必要十分である。

このとき X の任意の元 y に対して Stab(y) = 1 である。

証明
前半はほとんど自明である。
後半は>>283より明らかである。
証明終

285 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

286 :132人目の素数さん:2012/03/24(土) 17:22:34.12
640 名前:名無しさん@12周年[] 投稿日:2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2]
『平清盛』プロデューサー在日朝鮮人 磯智明(反日・天皇制度廃止論者)のプロデュース作品

@『監査法人 (2008)』反体制・反社会

A『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会

B『リミット -刑事の現場2- (2009)』反体制・反社会


日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C ←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員


テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな
民主党は、朝鮮人だらけ。
野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は




287 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

288 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

289 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

290 :132人目の素数さん:2012/03/24(土) 21:03:29.27


291 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

292 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 08:11:54.77
命題
G を群とする。
X を正則(>>280)な G-集合とする。
このとき X は忠実(過去スレpart5の843)な G-集合である。

証明
f:G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現(>>271)とする。
Ker(f) = ∩{Stab(x):x ∈ X} である。
よって、>>284より Ker(f) = 1 である。
証明終

293 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 08:17:12.07
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
X の各元 x に対して Stab(x)(>>282)= 1 となるとき
X を半正則(semiregular)という。

294 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 08:21:34.98
命題
G を群とする。
正則(>>280)な G-集合 X は半正則(>>293)である。

証明
>>284より明らかである。

295 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 08:35:01.11
定義(過去スレpart5の92の修正)
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
x、y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G があるとき x 〜 y と書く。
これは明らかに同値関係である。
商集合 X/〜 を G-集合 X の軌道空間(orbit space)と呼び、X/G と書く。
この同値関係による各同値類を軌道(orbit)または G-軌道(G-orbit)と言う。
x ∈ X が属す軌道を x の軌道または G-軌道と言い、Gx または O(x) と書く。

296 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 08:41:29.24
命題
G を群とする。
X を半正則(過去スレpart5の77)な G-集合とする。
このとき X は正則(>>280)な G-集合の直和となる。

証明
X の各 G-軌道(>>295)は推移的(過去スレpart5の107)かつ半正則であるから
>>284より正則である。
証明終

297 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 08:44:03.95
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
X 上の同値関係 〜 は任意の x、y ∈ X と任意の σ ∈ G に対して
x 〜 y ⇒ σx 〜 σy となるとき G-不変であるという。

298 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

299 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

300 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

301 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 10:32:55.77
定義
G を群とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
Set における G-対象(過去スレpart5の75)とは G-集合(過去スレpart5の77)に他ならない。
Set における G-対象間の G-射(過去スレpart5の76)を G-写像という。

302 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 10:43:35.75
命題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
〜 を X における G-不変(>>297)な同値関係とする。
x ∈ X のとき [x] を x の属す同値類とする。
σ ∈ G のとき σ[x] = [σx] と定義する。
〜 は G-不変であるからこの定義は x の取り方に寄らない。
このとき商集合 X/〜 は G-集合である。

証明
自明である。

303 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

304 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:03:43.84
命題
G を群とする。
f:X → Y を G-写像(>>301)とする。
X における関係 〜 を
x 〜 y ⇔ f(x) = f(y) で定義する。
このとき関係 〜 は G-不変(>>297)な同値関係である。

証明
自明である。

305 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:15:18.53
定義
C を圏とする。
f:X → Y
r:Y → Z
s:Y → Z
をそれぞれ C における射とする。
rf = sf となるとき (r, s) を f-等価対と呼び、
(r, s) は f を等価するという。

306 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:19:52.96
定義
C を圏とする。
f:X → Y とする。
r:Z → X
s:Z → X
をそれぞれ C における射とする。
fr = fs となるとき (r, s) を f-余等価対と呼び、
(r, s) は f を余等価(coequalize)するという。

307 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:24:00.34
定義
C を圏とする。
f:X → Y とする。
g:Z → Y とする。
任意の f-等価対(>>305)が g-等価対であるとき g を f-等価射と呼ぶ。

308 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:26:53.04
定義
C を圏とする。
f:X → Y
g:X → Z
をそれぞれ C における射とする。
任意の f-余等価対(>>305)が g-余等価対であるとき g を f-余等価射と呼ぶ。

309 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:30:21.53

C を圏とする。
f:X → Y
u:Z → X
をそれぞれ C における射とする。
このとき fu:Z → Y は f-等価射(>>307)である。

310 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:34:47.35

C を圏とする。
f:X → Y
u:Y → Z
をそれぞれ C における射とする。
このとき uf:X → Z は f-余等価射(>>308)である。

311 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:39:43.96
定義
C を圏とする。
f:X → Y を C-射とする。
g:Z → Y を任意の f-等価射(>>307)とする。
このとき
u:Z → X で g = fu となるものが一意に存在するとき f を強単射(strict monomorphism)と言う。

312 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:44:48.67
定義
C を圏とする。
f:X → Y を C-射とする。
g:X → Z を任意の f-余等価射(>>308)とする。
このとき
u:Y → Z で g = uf となるものが一意に存在するとき f を強全射(strict epimorphism)と言う。

313 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 11:54:02.52
定義(代数的整数論018の558)
f:X → Y を圏 C における射とする。
f がある二つの射の差余核(coequalizer)(代数的整数論017の850)と一致するとき
f を正則全射(regular epimorphism)と言う。
即ち次の完全な図式(代数的整数論017の870)があるとき f を正則な全射と言う。

Z ⇒ X → Y

ここで ⇒ は2本の射を表す。

314 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 12:00:36.64
定義(代数的整数論018の580)
C を圏とする。
f:X → Y を C における全射とし、次の性質(E)を持つとする。

(E): f = mg:X → T → Y と分解し、m が単射なら m は常に同型である。

このとき f を極値的全射(extremal epimorphism)と言う。

315 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 12:53:35.14
次の例が示すように強全射(>>312)は全射写像の自然な一般化である。


Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
Set における全射は強全射である。

証明
f:X → Y を Set における全射とする。
f は写像として全射である。
g:X → Z を任意の f-等価射(>>307)とする。
f(x) = f(y) とする。
P = {p} を一点からなる集合とする。
r:P → X を r(p) = x で定義する。
s:P → X を s(p) = y で定義する。
fr = fs であるから gr = gs である。
よって、g(x) = g(y) である。

f は全射であるから任意の y ∈ Y に対して y = f(x) となる x ∈ X がある。
上記から g(x) は y のみで決まり y = f(x) となる x の取り方によらない。
よって、写像 u:Y → Z を u(f(x)) = g(x) で定義出来る。
このとき g = uf である。
f は全射であるからこのような u は一意である。
証明終

316 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 13:07:59.66
例(正則全射の例)
Grp を小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義された群全体の圏とする。
G ∈ Grp とする。
N を G の正規部分群とする。
f:G → G/N を標準射とする。
このとき f は正則全射(>>313)である。

証明
r:N → G を包含写像とする。
s:N → G を各 x ∈ N に対して s(x) = 1 となる写像とする。
fr = fs である。
H ∈ Grp とし g:G → H を gr = gs となる準同型とする。
各 x ∈ N に対して g(x) = 1 である。
よって、準同型 u:G/N → H で g = uf となるものが存在する。
f は全射だから u は一意である。
証明終

317 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 13:12:08.44
命題
正則全射(>>313)⇒ 強全射(>>312

証明
自明である。

318 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 13:16:11.63
命題
強全射(>>312)⇒ 全射

証明
f:X → Y を強全射とする。
u:Y → Z
v:Y → Z
g = uf = vf とする。
>>310より g は f-余等価射(>>308)だから一意性より u = v
証明終

319 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 13:22:53.90
命題
強全射(>>312)⇒ 極値的全射(>>314

証明
f:X → Y を強全射とする。
g:X → Z
m:Z → Y
f = mg で m は単射とする。
r:T → X
s:T → X
fr = fs なら mgr = mgs
m は単射だから gr = gs
よって、g は f-余等価射(>>308)である。
よって、u:Y → Z で g = uf となるものが一意に存在する。
f = mg = muf
>>318より f は全射だから mu = 1
よって、mum = m
m は単射だから um = 1
よって、m は同型
証明終

320 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 14:06:11.59
命題
f:X → Y を強全射(>>312)とする。
g:Y → Z を極値的全射(>>314)とする。
このとき gf は極値的全射である。

証明
h:X → T
m:T → Z
gf = mh で m は単射とする。
m が同型であることを示せばよい。

r:S → X
s:S → X
fr = fs なら gfr = gfs
よって、mhr = mhs
m は単射だから hr = hs
よって、h は f-余等価射(>>308)である。
f は強全射だから h = uf となる u:Y → T が一意に存在する。
gf = mh = muf
>>318より f は全射だから g = mu
g は極値的全射だから m は同型である。
証明終

321 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 14:09:54.72
命題
f:X → Y と g:Y → Z をともに強全射(>>312)とする。
このとき gf は極値的全射(>>314)である。

証明
>>319より g は極値的全射である。
よって、>>320より gf は極値的全射である。
証明終

322 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 14:51:23.74
C を圏とする。
f: X → Y を C における射とする。
fg = 1 となる g:Y → X があるとき f を引き込み(過去スレpart4の296)といった。

323 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 15:16:02.38
命題
C を圏とする。
f:X → Y と g:Y → Z を C における射とする。
gf が全射なら g も全射である。

証明
r:Z → T
s:Z → T
をそれぞれ C における射とし、rg = sg とする。
rgf = sgf である。
gf は全射だから r = s である。
証明終

324 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 15:18:03.89
命題
引き込み(>>322)は全射である。

証明
>>323より明らかである。

325 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 15:21:04.09
命題(代数的整数論018の579)
引き込み(>>322)は正則全射(>>313)である。

証明
f: X → Y を引き込みとし、g: Y → X は fg = 1 となる射とする。
f = Coker(gf, 1_X)(代数的整数論017の850)を証明しよう。

fgf = f(1_X) である。
h:X → Z を hgf = h(1_X) となる射とする。
k = hg:Y → Z とおく。
kf = hgf = h である。
>>324より f は全射であるから k は kf = h となる唯一の射である。
以上から f = Coker(gf, 1_X) である。
証明終

326 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 17:38:26.35
命題
f:X → Y を引き込み(>>322)とする。
g:Y → Z を強全射(>>312)とする。
このとき gf は強全射である。

証明
h:X → W を任意の gf-余等価射(>>308)とする。
h = kgf となる k:Z → W が一意に存在することを示せばよい。
>>324より f は全射だから gf は全射である。
よって、h = kgf となる k は一意に定まる。

f は引き込みだから fu = 1 となる u:Y → X がある。
r:T → Y
s:T → Y
gr = gs とする。
gfur = gr = gs = gfus
よって、hur = hus
よって、hu は g-余等価射である。
g は強全射だから hu = kg となる k:Z → W が一意に存在する。

一方、gfuf = gf であり h は gf-余等価射であるから huf = h
よって、h = huf = kgf
証明終

327 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 17:58:53.90
命題
C を圏とする。
f:X → Y と g:Y → Z を C における射とする。
gf は強全射(>>312)で f は全射とする。
このとき g は強全射である。

証明
h:Y → W を任意の g-余等価射(>>308)とする。

r:T → X
s:T → X
gfr = gfs とする。
hfr = hfs である。
よって、hf は gf-余等価射である。
gf は強全射だから hf = kgf となる k:Z → W がある。
f は全射だから h = kg である。
>>318より gf は全射だから g も全射である。
よって、h = kg となる k は一意に定まる。
証明終

328 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 18:22:15.86
>>305(その他も同様)
等価 → 等化

329 :132人目の素数さん:2012/03/25(日) 19:55:40.51
保守

330 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 20:32:49.37
命題
C を圏とする。
f:X → Y を C における射とする。
次のファイバー積(代数的整数論017の800)P が存在するとする。

P → X
↓  ↓
X → Y

このとき g:X → Z が f-余等化射(>>308)であるためには
g(p_1) = g(p_2) となることが必要十分である。
ここで、p_1、p_2 はそれぞれ射影 P → X である。

証明
必要性:
g:X → Z が f-余等化射であるとする。
f(p_1) = f(p_2) であるから g(p_1) = g(p_2) である。

十分性:
g(p_1) = g(p_2) とする。

r:T → X
s:T → X
fr = fs とする。
h:T → P で r = (p_1)h、s = (p_2)h となるものが一意に存在する。
gr = g(p_1)h = g(p_2)h = gs
よって、g は f-余等化射である。
証明終

331 :132人目の素数さん:2012/03/25(日) 20:37:51.37
>>Kummer
賠償しろ

332 :132人目の素数さん:2012/03/25(日) 20:42:08.66
>スキーム論をやらなくてはならなくなる。

スレ何個消費するつもりだ?いい加減にしなさい

333 :132人目の素数さん:2012/03/25(日) 20:49:37.87
>>Kummer
謝罪しろ

334 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/03/25(日) 20:55:57.72
アホに元気がアルっちゅうんも考えモンやナ。




335 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 20:58:53.42
定義
G を群とする。
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
Set における G-対象(過去スレpart5の75)全体 Func(G, Set)(代数的整数論017の372)は
自然変換を射とすることにより圏となる(代数的整数論017の372)。
Set における G-対象とは G-集合(過去スレpart5の77)に他ならない。
よって、Func(G, Set) は G-集合と G-写像(>>301)からなる圏に他ならない。
この圏を Set^G と書く。

336 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 22:04:07.57
命題
G を群とする。
Set^G(>>335)は終対象(代数的整数論017の288)をもつ。

証明
X = {x} を1個の元 x からなる Set の対象とする。
Sym(X)(>>6)は単位群である。
よって、準同型 f:G → Sym(X) が一意に定まる。
f により X は G-集合(過去スレpart5の77)となる。
明らかに X は Set^G の終対象である。
証明終

337 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 22:14:25.72
命題
G を群とする。
X と Y を Set^G(>>335)の対象とする。
σ ∈ G、(x, y) ∈ X×Y のとき σ(x, y) = (σx, σy) と定義することにより
X×Y は G-集合となる。
このとき X×Y は Set^G における X と Y の積である。

証明
ほとんど自明である。

338 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/25(日) 23:24:39.70
命題
G を群とする。
X と Y を Set^G(>>335)の対象とする。
f:X → Y を G-写像(>>301)とする。
f が集合間の写像として全射なら f は Set^G における強全射(>>312)である。

証明
P = {(x, y) ∈ X×X;f(x) = f(y)} とおく。
σ ∈ G、(x, y) ∈ P のとき σ(x, y) = (σx, σy) と定義することにより P は G-集合となる。
写像 p_1:P → X を p(x, y) = x により定義する。
写像 p_2:P → X を p(x, y) = y により定義する。
p_1 と p_2 は G-写像である。
このとき、明らかに (P, p_1, p_2) はファイバー積(代数的整数論017の800)である。

P → X
↓  ↓
X → Y

g:X → Z を f-余等化射(>>308)とする。
>>330より g(p_1) = g(p_2) である。
よって、(x, y) ∈ X×X、f(x) = f(y) のとき g(x) = g(y) である。
f は全射であるから写像 h:Y → Z で g = hf となるものが一意に存在する。
σ ∈ G、x ∈ X のとき h(σf(x)) = h(f(σx)) = g(σx) = σg(x) = σh(f(x))
f は全射であるから h は G-写像である。
よって、f は強全射である。
証明終

339 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

340 :132人目の素数さん:2012/03/26(月) 00:40:32.26
朝鮮人犯罪があまり報道されない、そしてテレビが日常的に嘘を吐く理由。

韓国文化放送(MBC) 〒135-0091 東京都港区台場2-4-8 18F
フジテレビジョン 、、 〒137-8088 東京都港区台場2-4-8 

韓国聯合TVNEWS(YTN) 〒105-0000 東京都港区赤坂5-3-6
TBSテレビ     、 、、 .〒107-8006 東京都港区赤坂5-3-6  ←オウムに坂本弁護士の自宅の住所を教えて殺させた犯罪幇助のテレビ局

大韓毎日   、、、、、、、、、、、、 〒108-0075 東京都港区港南2-3-13 4F
東京新聞(中日新聞社東京本社) 〒108-8010 東京都港区港南2-3-13

京郷新聞  、、、、、、〒100-0004 東京都千代田区大手町1-7-2
産経新聞東京本社  〒100-8077 東京都千代田区大手町1-7-2
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341 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 01:30:04.49
定義
X を集合とする。
〜 を X 上の同値関係とする。
R = {(x, y) ∈ X×X; x 〜 y} を同値関係 〜 のグラフという。

342 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 01:36:19.33
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
Δ = {(x, x) ∈ X×X; x ∈ X} とおく。
Δ と X×X をそれぞれグラフ(>>341)にもつ X 上の同値関係は G-不変(>>297)である。
これ等を自明な G-不変な同値関係という。

343 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 01:43:47.97
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
|X| ≧ 2 であり X 上の G-不変な同値関係で自明(>>342)でないものは存在しないとき
X を原始的(primitive)な G-集合という。

344 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 01:56:29.44
命題
G を群とする。
f:X → Y を G-写像(>>301)とする。
X における関係 〜 を
x 〜 y ⇔ f(x) = f(y) で定義する。
>>304より関係 〜 は G-不変(>>297)な同値関係である。
よって、>>302より X/〜 は G-集合である。
p:X → X/〜 を標準写像とする。
f(X) は Y の G-部分集合(過去スレpart5の94)である。
h:f(X) → Y を包含写像とする。
このとき G-同型 g:X/〜 → f(X) が一意に存在して f = hgp となる。

証明
ほとんど自明である。

345 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 01:59:28.68
注意
>>344は群論や環論における準同型定理の類似である。

346 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 02:06:33.73
命題
G を群とする。
X を原始的(>>343)な G-集合とする。
f:X → Y を G-写像(>>301)とする。
このとき f は単射または |f(X)| = 1 である。
f が全射で |Y| ≧ 2 なら f は同型である。

証明
>>344より明らかである。

347 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 02:11:04.10
注意
>>346より、原始的な G-集合は群論における単純群の類似であることがわかる。

348 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 02:19:15.62
原始的(>>343)な G-集合は群の置換表現における最も重要な概念の一つである。
この概念を考えたのはGaloisが最初である。
因みに正規部分群の概念も彼が最初である。

349 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 02:50:55.76
>>348
>この概念を考えたのはGaloisが最初である。

Ruffini(1799)が最初らしい。

350 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 02:55:19.88
命題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
H を G の正規部分群とする。
X は H-集合と見なされる。
x、y ∈ X に対して y = ηx となる η ∈ H があるとき x 〜 y と書く。
このとき 〜 は X 上の G-不変(>>297)な同値関係である。

証明
x 〜 y とする。
y = ηx となる η ∈ H がある。

任意の σ ∈ G に対して
σy = σηx = (σησ^(-1))σx

H は G の正規部分群であるから σησ^(-1) ∈ H である。
よって、σx 〜 σy
証明終

351 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 03:06:49.77
定義
G を群とする。
X を集合とする。
f:G → Sym(X) を G の X 上の置換表現(>>267)とする。
Ker(f) = G のとき f を自明な置換表現という。

352 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 03:16:39.52
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
f:G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現(>>271)とする。
f が自明(>>351)なとき X は自明な G-集合という。
また、G は X に自明に作用するという。

353 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 03:25:44.60
命題
G を群とする。
X を原始的(>>343)な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
H を G の正規部分群とする。
このとき H は X に自明(>>352)に作用するかまたは推移的(>>281)に作用する。

証明
>>350より各 H-軌道(>>295)は 1 点からなるか X 全体と一致する。
各 H-軌道が 1 点であれば H は X に自明に作用する。
そうでなけれ H は X に推移的に作用する。
証明終

354 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 04:02:22.51
命題
G を群とする。
X を原始的(>>343)な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
X が推移的でなければ |X| = 2 であり G は X に自明(>>352)に作用する。

証明
>>353より G は X に自明に作用するかまたは推移的に作用する。
X に自明に作用するなら X 上の任意の同値関係は G-不変(>>297)である。
|X| ≧ 3 なら自明(>>342)でない同値関係があるから |X| = 2 である。
証明終

355 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 04:07:25.77
>>354に鑑みて>>343を以下のように修正する。

定義
G を群とする。
X を推移的(過去スレpart5の107)な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
|X| ≧ 2 であり X 上の G-不変な同値関係で自明(>>342)でないものは存在しないとき
X を原始的(primitive)な G-集合という。

356 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 05:05:17.09
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
P(X) を X の冪集合とする。
Q を P(X) の部分集合とする。
X 上の G-不変(>>297)な同値関係 〜 があり Q がその同値類全体と一致するとき
Q を G-集合 X のブロック系(block system)という。
Q の各要素をそのブロックという。

357 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 06:23:54.15
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
B を X の部分集合とする。
G-集合 X のあるブロック系(>>356)Q があり B ∈ Q となるとき B を X のブロックという。

358 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 06:32:53.14
命題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
Q を X のブロック系(>>356)とする。
任意の B ∈ Q と任意の σ ∈ G に対して σB = {σx; x ∈ B} は Q のブロック(>>356)である。

証明
X 上の G-不変な同値関係 〜 があり Q はその同値類全体と一致する。
x ∈ B を固定する。
σx を含むブロックを C とする。
y ∈ B に対して x 〜 y だから σx 〜 σy となる。
よって、σy ∈ C
よって、σB ⊂ C

逆の包含関係を示せば良い。
z を C の任意の元とする。
σx 〜 z である。
よって、x 〜 σ^(-1)z
よって、σ^(-1)z ∈ B
よって、z = σσ^(-1)z ∈ σB
よって、C ⊂ σB
証明終

359 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 06:52:16.56
命題
G を群とする。
X を推移的(過去スレpart5の107)な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
Y を G-集合とし、f:X → Y を G-写像(>>301)とする。
このとき f が全射であれば Y は推移的である。

証明
s と t を Y の任意の元とする。
f は全射だから s = f(x)、t = f(y) となる x、y ∈ X がある。
X は推移的だから y = σx となる σ ∈ G がある。
t = f(y) = f(σx) = σf(x) = σs
よって、Y は推移的である。
証明終

360 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 06:56:00.71
命題
G を群とする。
X を推移的(過去スレpart5の107)な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
〜 を X における G-不変(>>297)な同値関係とする。
>>302より X/〜 は G-集合である。
このとき G は X/〜 に推移的(>>281)に作用する。

証明
π:X → X/〜 を標準写像とする。
π は G-写像(>>301)であり全射である。
よって、>>359より X/〜 は推移的である。
証明終

361 :132人目の素数さん:2012/03/26(月) 06:59:12.10
>>Kummer
挨拶しろ。

362 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 07:06:43.23
命題
G を群とする。
X を推移的(過去スレpart5の107)な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
〜 を X における G-不変(>>297)な同値関係とする。
B をその同値類の一つとする。
このとき |X| = |X/〜||B| である。

証明
>>359より X/〜 は推移的である。
よって、>>358より関係 〜 による各同値類は σB、σ ∈ G の形である。
|B| = |σB| であるから |X| = |X/〜||B| である。
証明終

363 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 07:11:24.85
命題
G を群とする。
X を素数次数(>>275)の推移的(過去スレpart5の107)な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
このとき X は原始的(>>355)である。

証明
>>362より明らかである。

364 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

365 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 09:10:43.74
補題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
任意の σ ∈ G に対して σB = B または σB ∩ B = φ とする。
Y = ∪{σB; σ ∈ G} とおく。
このとき以下が成り立つ。

(1)Y は X の G-部分集合(過去スレpart5の94)である。

(2)Y は σB、σ ∈ G の形の部分集合により直和分割される。

(3)x、y ∈ σB となる σ ∈ G があるとき x 〜 y と書けば
〜 は Y 上の G-不変(>>297)な同値関係である。

証明
(1)は自明である。

(2)
σ、τ ∈ G、σB ∩ τB ≠ φ とする。
τ^(-1)σB ∩ B ≠ φ だから τ^(-1)σB = B である。
よって、σB = τB である。
よって、Y は σB、σ ∈ G の形の集合に直和分割される。

(3)
上記より 〜 は Y 上の同値関係である。
x 〜 y のとき x、y ∈ σB となる σ ∈ G がある。
任意の τ ∈ G に対して τx、τy ∈ τσB であるから τx 〜 τy である。
証明終

366 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

367 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 09:29:17.17
命題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
B を X の空でない部分集合とする。
B がブロック(>>357)であるためには
任意の σ ∈ G に対して σB = B または σB ∩ B = φ となることが必要十分である。

証明
必要性:
>>358より明らかである。

十分性:
P = {σB; σ ∈ G} とおく。
Y = ∪{σB; σ ∈ G} とおく。
X = Y なら>>365より P は X のブロック系(>>356)である。
よって、B はブロックである。

X ≠ Y なら C = X - Y とおくと任意の σ ∈ G に対して σC ⊂ C となる。
よって、x、y ∈ C のとき任意の σ ∈ G に対して σx、σy ∈ C となる。
よって、Q = {C} ∪ P はブロック系である。
よって、B はブロックである。
証明終

368 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

369 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 09:41:32.13
命題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
x を X のある元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
B を x を含むブロック(>>357)とする。
このとき H ={σ ∈ G;σB = B} は G_x を含む G の部分群である。

証明
σ を G_x の任意の元とする。
σx = x ∈ B であるから x ∈ σB ∩ B
よって、>>365より B = σB
よって、σ ∈ H である。
証明終

370 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 09:59:28.82
命題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
x を X のある元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
H を G_x を含む G の部分群とする。
Hx = {ηx; η ∈ H} と書く。
このとき Hx は X のブロック(>>357)である。

証明
x ∈ Hx だから Hx は空でない。
σ ∈ G に対して σHx ∩ Hx ≠ φ とする。
σηx = ρx となる η、ρ ∈ H がある。
ρ^(-1)σηx = x だから ρ^(-1)ση ∈ G_x ⊂ H
よって、σ ∈ ρHη^(-1) = H
よって、σHx = Hx
よって、>>367より Hx は X のブロックである。
証明終

371 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 10:07:20.84
命題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
x を X のある元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
H を G_x を含む G の部分群とする。
Hx = {ηx; η ∈ H} と書く。
このとき H = {σ ∈ G; σHx = Hx } である。

証明
σ ∈ H のとき σHx = Hx である。

逆に σ ∈ G、σHx = Hx とする。
σηx = ρx となる η、ρ ∈ H がある。
ρ^(-1)σηx = x だから ρ^(-1)ση ∈ G_x ⊂ H
よって、σ ∈ ρHη^(-1) = H

以上から H = {σ ∈ G; σHx = Hx }
証明終

372 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

373 :132人目の素数さん:2012/03/26(月) 11:14:50.55
保守

374 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

375 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 12:55:04.50
命題
G を群とする。
X を推移的な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
x を X のある元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
B を x を含むブロック(>>357)とする。
>>369より H ={σ ∈ G;σB = B} は G_x を含む G の部分群である。
このとき B = Hx である。

証明
Hx ⊂ B であるから逆の包含関係を示せばよい。
y ∈ B を任意の元とする。
G は X に推移的に作用するから y = σx となる σ ∈ G がある。
y ∈ σB ∩ B だから σB = B である。
よって、σ ∈ H である。
よって、y = σx ∈ Hx である。
証明終

376 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

377 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 13:05:26.03
命題
G を群とする。
X を推移的な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
x を含むブロック(>>357)全体の集合を Λ(x) とする。
G_x を含む G の部分群全体の集合を Γ(x) とする。
>>369より B ∈ Λ(x) に対して H = {σ ∈ G;σB = B} は Γ(x) に属す。
このとき B に H を対応させる写像 ψ:Λ(x) → Γ(x) は全単射である。

証明
>>370より H ∈ Γ(x) のとき Hx ∈ Λ(x) である。
H ∈ Γ(x) に Hx ∈ Λ(x) を対応させる写像を φ:Γ(x) → Λ(x) とする。
>>371>>375より ψ と φ は互いに逆写像である。
証明終

378 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

379 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 13:28:18.42
命題
G を群とする。
X を推移的な G-集合(過去スレpart5の77)で |X| ≧ 2 とする。
x を X の任意の元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
X が原始的(>>355)な G-集合であるためには G_x が G の極大部分群であることが必要十分である。

証明
>>377より明らかである。

380 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

381 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 20:24:17.25
記法
X を集合とする。
m(1 ≦ m ≦ |X|)を整数とする。
X^m を X の m 重の直積集合とする。
X^m の元 (x_1、...、x_m) で i ≠ j (1 ≦ i、j ≦ m)なら x_i ≠ x_j となるもの全体からなる
X^m の部分集合を X^[m] と書く。

382 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 20:30:54.70
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
m(1 ≦ m ≦ |X|)を整数とする。
σ ∈ G、x = (x_1、...、x_m) ∈ X^[m](>>381)のとき
σx = (σx_1、...、σx_m) と定義することにより X^[m] は G-集合となる。
X^[m] が 推移的(過去スレpart5の107)な G-集合のとき
X を m 重推移的な G-集合という。

383 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 20:36:40.01
命題
G を群とする。
X を m 重推移的(>>382)な G-集合とする。
k を 1 ≦ k ≦ m となる整数とする。
このとき X は k 重推移的な G-集合である。

証明
k < m と仮定してよい。
x = (x_1、...、x_k) と y = (y_1、...、y_k) を X^[k](>>381)の任意の元とする。
x’= (x_1、...、x_k、x_(k+1)、...、x_m) ∈ X^[m] となる
x_(k+1)、...、x_m ∈ X がある。
同様に
y’= (y_1、...、y_k、y_(k+1)、...、y_m) ∈ X^[m] となる
y_(k+1)、...、y_m ∈ X がある。
X は m 重推移的であるから σx’= y’となる σ ∈ G がある。
このとき σx = y である。
よって、X^[k] は推移的な G-集合である。
証明終

384 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 20:42:27.84
命題
X を n 個の元からなる有限集合とする。
G = Sym(X)(>>6)とする。
このとき X は G-集合として n 重推移的(>>382)である。

証明
x = (x_1、...、x_n) を X^[n](>>381)の任意の元とする。
任意の y = (y_1、...、y_n) ∈ X^[n] に対して
σx = y となる σ ∈ G がある。
よって、X^[n] は推移的な G-集合である。
証明終

385 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 20:59:33.59
補題
G を群とする。
X を推移的(過去スレpart5の107)な G-集合とする。
m ≧ 2 を整数とする。
x と y を X の元とする。
G_x と G_y をそれぞれ x と y の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
G_x が X - {x} 上 m - 1 重推移的(>>382)なら G_y は X - {y} 上 m - 1 重推移的である。

証明
G は X 上推移的だから σx = y となる σ ∈ G がある。
z = (z_1、...、z_(m-1)) と w = (w_1、...、w_(m-1)) を (X - {y})^[m-1] の元とする。
z’= σ^(-1)z
w’= σ^(-1)w
とする。
z’、w’∈ (X - {x})^[m-1] だから τz’= w’となる τ ∈ G_x がある。
τσ^(-1)z = σ^(-1)w
よって、στσ^(-1)z = w
στσ^(-1) ∈ σG_xσ^(-1) = G_y
よって、G_y は (X - {y})^[m-1] 上推移的である。
証明終

386 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 21:16:18.15
命題
G を群とする。
X を G-集合とする。
x を X の元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
m ≧ 2 を整数とする。
X が m 重推移的(>>382)であるためには
G が X 上推移的で G_x が X - {x} 上 m - 1 重推移的であることが
必要十分である。

証明
必要性:
>>383より G は X 上推移的である。
Y = X - {x} とおく。
a = (a_1、...、a_(m-1)) と b = (b_1、...、b_(m-1)) を Y^[m-1](>>381)の任意の元とする。
a’= (a_1、...、a_(m-1)、x)
b’= (b_1、...、b_(m-1)、x)
とおく。
a’、b’∈ X^[m] である。
X は m 重推移的であるから σa’= b’となる σ ∈ G がある。
このとき σx = x であるから σ ∈ G_x である。
σa = b であるから G_x は Y 上 m - 1 重推移的である。

十分性:
>>385より X の任意の元 y に対して G_y は X - {y} 上 m - 1 重推移的である。
a = (a_1、...、a_m) と b = (b_1、...、b_m) を X^[m] の任意の元とする。
σ(a_1、...、a_(m-1)、a_m) = (b_1、...、b_(m-1)、a_m) となる σ ∈ G_(a_m) がある。
τ(b_1、...、b_(m-1)、a_m) = (b_1、...、b_(m-1)、b_m) となる τ ∈ G_(b_1) がある。
よって、τσa = b
よって、G は X 上 m 重推移的である。
証明終

387 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 22:15:35.40
定義(>>210の拡張)
X を空でない有限集合とする。
G = Sym(X)(>>6)とする。
J = {i_1、...、i_r} を X の空でない部分集合で |J| = r とする。
σ ∈ G で
σ(i_1) = i_2、...、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり
X - J の各元 x に対して σ(x) = x となるものを G の巡回置換と呼び、
σ = (i_1、...、i_r) と書く。
r を σ の長さと呼ぶ。

388 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 22:33:22.87
命題
X を空でない有限集合とする。
Z を有理整数環とする。
{-1、1} を Z の乗法に関する可逆元からなる群とする。
G = Sym(X)(>>6)とする。
このとき準同型 ε:G → {-1、1} で G の任意の互換(>>240)σ に対して
ε(σ) = -1 となるものが一意に存在する。

証明
|X| = n とする。
I = {1、...、n} とする。
f:X → I を任意の全単射とする。
σ ∈ G に fσf^(-1) ∈ Sym(I) を対応させることにより
同型 ψ:G → Sym(I) が得られる。
σ ∈ Sym(I) に sgn(σ)(>>230)を対応させる写像を sgn:Sym(I) → {-1、1} とする。
ε = sgnψ とおく。
G の任意の互換 σ に対して ψ(σ) は Sym(I) の互換だから>>232より ε(σ) = sgn ψ(σ) = -1 である。
>>222と同様に G の任意の元は互換の積として表されるからこのような ε は一意に決まる。
証明終

389 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 22:39:07.13
定義
X を空でない有限集合とする。
G = Sym(X)(>>6)とする。
>>388より準同型 ε:G → {-1、1} で G の任意の互換(>>240)τ に対して
ε(τ) = -1 となるものが一意に存在する。
σ ∈ G のとき ε(σ) を σ の符号と呼び sgn(σ) と書く。

390 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 22:42:04.89
定義(>>233の拡張)
X を空でない有限集合とする。
σ を Sym(X)(>>6)の元とする。
sgn(σ) = 1 のとき σ を偶置換という。
sgn(σ) = -1 のとき σ を奇置換という。

391 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 22:47:15.85
定義(>>235の拡張)
X を空でない有限集合とする。
G = Sym(X)(>>6)とする。
σ ∈ G に sgn(σ)(>>6)を対応させる写像を sgn:G → {-1、1} とする。
sgn:G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。
H を X 上の交代群と呼ぶ。
H は G の全ての偶置換(>>390)からなる。

392 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 22:49:33.90
記法
X を空でない有限集合とする。
X 上の交代群(>>391)を Alt(X) と書く。

393 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 23:13:20.75
命題
X を空でない有限集合とする。
|X| = n とする。
n ≧ 3 のとき Alt(X)(>>392)は X 上推移的(過去スレpart5の107)である。

証明
a と b を X の元とし a ≠ b とする。
n ≧ 3 だから c ∈ X - {a, b} がある。
σ = (a, b, c) を X 上の巡回置換(>>238)とする。
σ = (a, c)(a, b) ∈ Alt(X) である。
b = σa だから Alt(X) は X 上推移的である。
証明終

394 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/26(月) 23:33:40.49
命題
X を空でない有限集合とする。
Y を X の空でない部分集合とする。
任意の τ ∈ Sym(Y)(>>6)に対して τ’∈ Sym(X) を次のように定義する。
x ∈ Y のとき τ’x = τx
x ∈ X - Y のとき τ’x = x
τ ∈ Sym(Y) に τ’∈ Sym(Y) を対応させる写像を f:Sym(Y) → Sym(X) とする。
このとき f は単射準同型であり、
f(Sym(Y)) = {σ ∈ Sym(X);各 x ∈ X - Y に対して σx = x} である。

証明
自明である。

395 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 00:09:15.80
>>391の修正

定義(>>235の拡張)
X を空でない有限集合とする。
G = Sym(X)(>>6)とする。
σ ∈ G に sgn(σ)(>>389)を対応させる写像を sgn:G → {-1、1} とする。
sgn:G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。
H を X 上の交代群と呼ぶ。
H は G の全ての偶置換(>>390)からなる。

396 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 00:17:28.43
命題
X を空でない有限集合とする。
Y を X の空でない部分集合とする。
f:Sym(Y) → Sym(X) を>>394で定義した準同型とする。
σ ∈ Sym(X) に sgn(σ)(>>389)を対応させる写像を sgn_X:Sym(X) → {-1、1} とする。
σ ∈ Sym(Y) に sgn(σ) を対応させる写像を sgn_Y:Sym(Y) → {-1、1} とする。
このとき sgn_Y = (sgn_X)f である。

証明
τ ∈ Sym(Y) を任意の互換(>>240)とする。
f(τ) は Sym(X) の互換であるから (sgn_X)f(τ) = -1 である。
よって、sgn_Y の一意性(>>389)より sgn_Y = (sgn_X)f である。
証明終

397 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 00:32:57.63
命題
X を空でない有限集合とする。
Y を X の空でない部分集合とする。
f:Sym(Y) → Sym(X) を>>394で定義した準同型とする。
このとき f(Alt(Y)) = {σ ∈ Alt(X)(>>392);各 x ∈ X - Y に対して σx = x} である。

証明
H = {σ ∈ Alt(X)(>>392);各 x ∈ X - Y に対して σx = x} とおく。
>>394より H = Alt(X) ∩ f(Sym(Y)) である。
よって、H = {σ ∈ f(Sym(Y));sgn(σ) = 1} である。
τ ∈ Alt(Y) なら>>396より sgn(f(τ)) = sgn(τ) = 1
よって、f(τ) ∈ H
よって、f(Alt(Y)) ⊂ H

σ ∈ H なら σ = f(τ) となる τ ∈ Sym(Y) がある。
>>396より 1 = sgn(f(τ)) = sgn(τ)
よって、τ ∈ Alt(Y)
よって、H ⊂ f(Alt(Y))

以上から f(Alt(Y)) = H
証明終

398 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 00:41:14.31
命題
X を空でない有限集合とする。
|X| ≧ 3 のとき Alt(X)(>>392)は n - 2 重推移的(>>382)である。

証明
G = Alt(X) とする。
|X| = n とする。
n に関する帰納法を使う。
n = 3 のとき>>393より G は X 上推移的である。
n ≧ 4 とする。
x を X の元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
>>397より G_x は Alt(X - {x}) と同一視される。
よって、帰納法の仮定より G_x は n - 3 重推移的である。
>>393より G は X 上推移的である。
よって、>>386より G は n - 2 重推移的である。
証明終

399 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 01:03:51.62
命題
G を群とする。
X を 2 重推移的(>>382)な G-集合とする。
x を X の任意の元とする。
H を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
σ ∈ G - H とする。
このとき G = H ∪ HσH と直和分割される。

証明
>>393より G は X 上推移的である。
よって、過去スレpart5の121より X は G-集合として G/H と同型である。
よって、>>386より H は G/H - {H} 上推移的である。
よって、任意の τ ∈ G - H に対して τH = hσH となる h ∈ H がある。
τ ∈ HσH であるから G = H ∪ HσH である。
H ∩ HσH = φ であるからこれは G の直和分割である。
証明終

400 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 01:17:43.69
>>399の修正

命題
G を群とする。
X を 2 重推移的(>>382)な G-集合とする。
x を X の任意の元とする。
H を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
σ ∈ G - H とする。
このとき G = H ∪ HσH と直和分割される。

証明
>>383より G は X 上推移的である。
よって、過去スレpart5の121より X は G-集合として G/H と同型である。
よって、>>386より H は G/H - {H} 上推移的である。
よって、任意の τ ∈ G - H に対して τH = hσH となる h ∈ H がある。
τ ∈ HσH であるから G = H ∪ HσH である。
H ∩ HσH = φ であるからこれは G の直和分割である。
証明終

401 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 01:19:20.30
命題
G を群とする。
X を 2 重推移的(>>382)な G-集合とする。
このとき X は原始的(>>355)な G-集合である。

証明
x を X の任意の元とする。
H を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
X は 2 重推移的だから |X| ≧ 2 である。
>>383より G は X 上推移的である。
よって、>>379より H が G の極大部分群であることを証明すればよい。
K を H を含む G の部分群で H ≠ K とする。
σ ∈ K - H とする。
>>400より G = H ∪ HσH と直和分割される。
K は H と HσH を含むから G = H である。
よって、H は G の極大部分群である。
証明終

402 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 02:35:25.41
G を群とする。
H を G の正規部分群とする。
Aut(H) を H の自己同型群とする。
G の各元 σ に対して φ(σ) ∈ Aut(H) を
φ(σ)(x) = σxσ^(-1) により定義する。
φ:G → Aut(H) は準同型である。
よって、H は G-集合(過去スレpart5の77)と見なされる。

403 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 02:39:35.78
補題
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
x を X の元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
H を G の正規部分群とする。
H は X 上正則(>>280)であるとする。
>>402より H は (G_x)-集合と見なされる。
このとき H と X は (G_x)-集合として同型である。

証明
写像 f:H → X を f(η) = ηx により定義する。
H は X に正則に作用するから f は全単射である。
よって、f が (G_x)-射であることを示せばよい。
σ ∈ G_x、η ∈ H のとき
f(σησ^(-1)) = σησ^(-1)x = σηx = σf(η)
よって、f は (G_x)-射である。
証明終

404 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 02:50:38.40
定義
G を群とする。
Aut(G) を G の自己同型群とする。
H を G の部分群とする。
任意の λ ∈ Aut(G) に対して λ(H) ⊂ H となるとき
H を G の特性部分群(characteristic subgroup)という。

405 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 02:59:28.41
命題
G を群とする。
H を G の正規部分群とする。
K を H の特性部分群(>>404)とする。
このとき K は G の正規部分群である。

証明
σ ∈ G のとき τ(σ) を G の内部自己同型(過去スレpart5の749)とする。
H は G の正規部分群であるから τ(σ) は H の自己同型 φ(σ) を引き起こす。
φ(σ)(K) ⊂ K であるから τ(σ)(K) ⊂ K である。
よって、K は G の正規部分群である。
証明終

406 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 03:05:28.66
定義
p を素数とする。
位数 p の巡回群の有限個の直積 G を基本アーベル群という。
p を G の指数という。

407 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 03:20:27.02
命題
G を群とする。
Z(G) を G の中心(過去スレpart5の751)とする。
Z(G) は G の特性部分群(>>404)である。

証明
任意の λ ∈ Aut(G) と任意の x、y ∈ Z(G) に対して
λ(x)λ(y) = λ(xy) = λ(yx) = λ(y)λ(x)
よって、λ(x) ∈ Z(G)
よって、λ(Z(G)) ⊂ Z(G)
証明終

408 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 08:43:58.21
>>407の修正

命題
G を群とする。
Z(G) を G の中心(過去スレpart5の751)とする。
Z(G) は G の特性部分群(>>404)である。

証明
任意の λ ∈ Aut(G)、z ∈ Z(G)、σ ∈ G に対して
σ = λ(x) となる x ∈ G がある。
λ(z)σ = λ(z)λ(x) = λ(zx) = λ(xz) = λ(x)λ(z) = σλ(z)
よって、λ(z) ∈ Z(G)
よって、λ(Z(G)) ⊂ Z(G)
証明終

409 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 09:14:53.10
G を指数 p の基本アーベル群(>>406)とする。
Z を有理整数環とする。
π:Z → Z/pZ を標準写像とする。
x ∈ G を任意の元とする。
px = 0 であるから n、m ∈ Z、n ≡ m (mod p) のとき nx = mx である。
よって、n ∈ Z のとき π(n)x = nx と定義することにより G は Z/pZ 上の線型空間となる。

410 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 09:20:20.35
命題
G を有限アーベル群とする。
p を素数とする。
G - {0} の各元の位数は p であるとする。
このとき G は基本アーベル群(>>406)である。

証明
アーベル群の基本定理から明らかだが以下のように証明することも出来る。

>>409と同様に G は Z/pZ 上の有限次元の線型空間である。
G の Z/pZ 上の次元を n とすれば G は巡回群 Z/pZ の n 個の直積に同型となる。
証明終

411 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 09:30:18.27
命題
G を有限群とする。
X を 2 重推移的(>>382)な G-集合とする。
H を G の正規部分群で X に正則(>>280)に作用するとする。
このとき H は基本アーベル群(>>406)である。
よって、|X| = |H| は素数冪である。

証明
|H| = |X| であり |X| ≧ 2 であるから |H| ≠ 1 である。
x を X の任意の元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
>>386より X - {x} は推移的な (G_x)-集合である。
よって、>>403より H - {1} は推移的な (G_x)-集合である。
よって、H - {1} の元は全て同じ位数 m である。
p を m の任意の素因子とすると H は位数 p の元をもつ。
よって、H - {1} の各元の位数は p である。
よって、Cauchyの定理(過去スレpart5の775)より H の位数は p の冪である。
Z(H) を H の中心(過去スレpart5の751)とすると過去スレpart5の781より Z(H) ≠ 1 である。
>>408より Z(H) は H の特性部分群(>>404)であるから>>405より G の正規部分である。
H は X に正則に作用するから Z(H) の X への作用は自明(>>352)ではない。
>>401より G は X に原始的(>>355)に作用する。
よって、>>353より Z(H) は X に推移的に作用する。
Z(H) ⊂ H であるから Z(H) における x の安定化部分群は 1 である。
よって、>>284より Z(H) は X に正則に作用する。
よって、|X| = |Z(H)| = |H| である。
よって、Z(H) = H である。
よって、H はアーベル群である。
よって、>>410より H は基本アーベル群である。
証明終

412 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 09:47:23.62
定義
G を群とする。
H ≠ 1 を G の正規部分群とする。
H に含まれる G の正規部分群は H と単位群だけであるとき H を G の極小正規部分群という。

413 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 09:49:22.49
命題
G ≠ 1 を有限群とする。
G は極小正規部分群(>>412)を持つ。

証明
自明である。

414 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 09:55:46.01
定義
G を群とする。
x、y ∈ G のとき xyx^(-1)y^(-1) を [x, y] と書き x と y の交換子(commutator)という。

415 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 10:02:07.08
定義
G を群とする。
{[x, y];x、y ∈ G} で生成される G の部分群を G の交換子部分群と呼び [G, G] と書く。

416 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 10:05:20.83
命題
G を群とする。
x、y ∈ G のとき [x, y]^(-1) = [y, x] である。

証明
自明である。

417 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 10:07:52.42
命題
G を群とする。
[G, G] (>>415)の各元は [x, y] (>>414)の形の元の有限個の積である。

証明
>>416より明らかである。

418 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 10:11:18.34
命題
G と H を群とする。
f:G → H を準同型とする。
x、y ∈ G のとき f([x, y]) = [f(x), f(y)] である。

証明
自明である。

419 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 11:00:47.42
命題
G と H を群とする。
f:G → H を準同型とする。
x、y ∈ G のとき f([G, G]) = [f(G), f(G)] である。

証明
>>417>>418より明らかである。

420 :132人目の素数さん:2012/03/27(火) 11:49:10.18
これ何やってるの?

421 :132人目の素数さん:2012/03/27(火) 12:48:43.50
>>420
前にも同じ質問があったが見て分からない?
群の置換表現論
これがGalois理論と何の関係があるか?
おいおいw
関係大有りだよ
わからなかったらwikipediaでも見てくれ

422 :132人目の素数さん:2012/03/27(火) 13:02:27.73
Galoisの基本的な考えは方程式のGalois群をその方程式の根の置換群と見なすこと。
この考えは現代のGalois理論の教科書であまり強調されてないから>>420のような質問が出るんだろう。
しかしGrothendieckによるGalois理論の拡張にはこの考えが再び表に出てくる。

423 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 13:42:09.09
定義
G を群とする。
H と K を G の部分群とする。
{[x, y];x ∈ H、y ∈ K} で生成される G の部分群を [H, K] と書く。

424 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 13:44:41.18
命題
G を群とする。
H と K を G の部分群とする。
[H, K] (>>423)の各元は [h, k] または [k, h]、h ∈ H、k ∈ K の形の元の有限個の積である。

証明
>>416より明らかである。

425 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 13:52:39.04
命題
G を群とする。
H と K を G の部分群とする。
このとき [H, K] = [K, H] である。

証明
>>424より明らかである。

426 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 13:58:43.75
>>419の修正

命題
G と H を群とする。
f:G → H を準同型とする。
このとき f([G, G]) = [f(G), f(G)] である。

証明
>>417>>418より明らかである。

427 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 14:06:28.29
命題
G を群とする。
[G, G] (>>415)は G の特性部分群(>>404)である。

証明
>>426より明らかである。

428 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 14:14:19.84
命題
G を群とする。
[G, G] (>>415)は G の正規部分群である。

証明
>>427より [G, G] は G の特性部分群である。
よって、>>405より [G, G] は G の正規部分群である。
証明終

429 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 14:19:37.76
命題
G を群とする。
N を G の正規部分群とする。
このとき [N, N] (>>415)は G の正規部分群である。

証明
>>427より [N, N] は N の特性部分群(>>404)である。
よって、>>405より [N, N] は G の正規部分群である。
証明終

430 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 14:33:03.91
命題
G を群とする。
x、y ∈ G のとき [x, y] = 1 であるためには xy = yx が必要十分である。

証明
自明である。

431 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 14:48:06.11
命題
G を群とする。
>>428より [G, G] は G の正規部分群である。
このとき G/[G, G] はアーベル群である。

証明
π:G → G/[G, G] を標準準同型とする。
>>418より x、y ∈ G のとき π([x, y]) = [π(x), π(y)] である。
π([x, y]) = 1 であるから [π(x), π(y)] = 1 である。
よって、>>430より π(x)π(y) = π(y)π(x) である。
よって、G/[G, G] はアーベル群である。
証明終

432 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 14:56:59.10
命題
G を群とする。
H をアーベル群とする。
f:G → H を準同型とする。
このとき f([G, G]) = 1 である。

証明
>>418より x、y ∈ G のとき f([x, y]) = [f(x), f(y)] である。
H はアーベル群であるから>>430より [f(x), f(y)] = 1 である。
よって、f([x, y]) = 1 である。
よって、>>417より f([G, G]) = 1 である。
証明終

433 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 15:10:32.99
命題
G を群とする。
N を G の正規部分群とする。
G/N はアーベル群であるとする。
このとき [G, G] ⊂ N である。

証明
π:G → G/N を標準準同型とする。
>>432より π([G, G]) = 1 である。
よって、[G, G] ⊂ N である。
証明終

434 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 15:15:17.78
命題
G を群とする。
>>428より [G, G] は G の正規部分群である。
π:G → G/[G, G] を標準準同型とする。
H をアーベル群とする。
f:G → H を準同型とする。
このとき準同型 g:G/[G, G] → H で f = gπ となるものが一意に存在する。

証明
>>432より f([G, G]) = 1 である。
よって、g:G/[G, G] → H で f = gπ となるものが存在する。
π:G → G/[G, G] は全射だからこのような g は一意に決まる。
証明終

435 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 15:26:31.30
命題
G ≠ 1 を可解群(過去スレpart1の550)とする。
このとき G ≠ [G、G] である。

証明
G の正規部分群 N、G ≠ N で G/N がアーベル群となるものがある。
>>433より [G, G] ⊂ N である。
よって、G ≠ [G、G] である。
証明終

436 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 15:35:16.05
命題
G ≠ 1 を有限可解群(過去スレpart1の550)とする。
N を G の極小正規部分群(>>412)とする。
このとき N は基本アーベル群(>>406)である。

証明
過去スレpart1の565より N は可解群である。
よって、>>435より [N、N] ≠ N である。
>>429より [N、N] は N の正規部分群である。
N は G の極小正規部分群であるから [N、N] = 1 である。
よって、>>431より N はアーベル群である。
a ≠ 1 を N の元で位数 m とする。
p を m の任意の素因子とすると H は位数 p の元をもつ。
H = {x ∈ N;x^p = 1} とおく。
N はアーベル群であるから H は N の部分群である。
H は位数 p の元をもつから H ≠ 1 である。
>>410より H は基本アーベル群である。
H は明らかに N の特性部分群(>>404)である。
よって、>>405より H は G の正規部分群である。
N は G の極小正規部分群であるから H = N である。
証明終

437 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 16:48:46.95
命題
G を群とする。
X を推移的(過去スレpart5の107)な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
|X| ≧ 2 とする。
このとき G ≠ 1 である。

証明
自明である。

438 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 16:57:09.49
命題
G を群とする。
X を忠実(過去スレpart5の843)かつ原始的(>>355)な G-集合とする。
H ≠ 1 を G の正規部分群とする。
このとき H は X に推移的(>>281)に作用する。

証明
G は X 上忠実で H ≠ 1 だから H の作用は X 上自明(>>352)ではない
よって、>>353より H は X に推移的に作用する。
証明終

439 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 17:18:49.94
命題
G を有限可解群(過去スレpart1の550)とする。
X を忠実(過去スレpart5の843)かつ原始的(>>355)な G-集合とする。
このとき |X| は素数冪である。

証明
G は X 上原始的だから X 上推移的で |X| ≧ 2 である。
よって、>>437より G ≠ 1 である。
よって、>>413より G は極小正規部分群(>>412)H を持つ。
H ≠ 1 だから>>438より H は X に推移的に作用する。
よって、過去スレpart5の122より |X| は |H| の約数である。
>>436より H は基本アーベル群(>>406)であるから |H| は素数冪である。
よって、|X| も素数冪である。
証明終

440 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/27(火) 17:48:32.79
命題
G をアーベル群とする。
X を忠実(過去スレpart5の843)かつ推移的(過去スレpart5の107)な G-集合とする。
このとき X は正則(>>280)な G-集合である。

証明
x を X の任意の元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
>>284より G_x = 1 を証明すればよい。

G は X 上推移的であるから、任意の y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G がある。
>>283より G_y = σ(G_x)σ^(-1) である。
G はアーベル群であるから G_x = G_y である。
よって、G_x = ∩{G_y; y ∈ G}
G は忠実だから、この右辺 = 1
証明終

441 :132人目の素数さん:2012/03/27(火) 22:17:52.35
テレビで
女性に人気の
とか言っているのを見て真に受けて買い求めに走る女とか見てると テレビっ言う宗教の信者なのかと思ってしまう


やらせA 就活中
(p)http://livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/3/1/31a6f8e6.jpg
やらせB 就職後
(p)http://livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/2/b/2b790359.jpg

世論調査もこんな感じで捏造してます
いい加減、目覚めなさい

日本という国は、そういう特権階級の人たちが、楽しく、幸せに暮らせるように、
あなたたち凡人が、安い給料で働き、高い税金を払うことで、成り立っているんです。
そういう特権階級の人たちが、あなたたちに何を望んでいるか知ってる?

今のままずーっと愚かでいてくれればいいの。 

世の中のしくみや、不公平なんかに気づかず、
テレビや漫画でもぼーっと見て何も考えず、会社に入ったら、上司の言うことを大人しく聞いて、
戦争が始まったら、真っ先に危険な所に行って戦ってくれればいいの。


442 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

443 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 06:48:24.06
命題
G を有限可解群(過去スレpart1の550)とする。
X を忠実(過去スレpart5の843)かつ原始的(>>355)な G-集合とする。
H を G の極小正規部分群(>>412)とする。
>>436より H は基本アーベル群(>>406)である。
このとき H は X に正則(>>280)に作用する。
特に |X| = |H| である。

証明
H ≠ 1 だから>>438より H は X に推移的に作用する。
H はアーベル群であるから>>440より H は X に正則に作用する。
証明終

444 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 06:53:57.89
定義
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
A 上の n 次の正方行列全体のなす環を Mat(n, A) と書いた(過去スレpart1の814)。
Mat(n, A) の乗法に関する可逆元全体のなす群を A 上の一般線型群(general linear group over A)といい
GL(n, A) と書く。

445 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 07:18:57.15
命題
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
A^n を A 上の n 次の列ベクトルの集合と見なす。
GL(n, A)(>>444)は A^n の A-加群としての自己同型群と見なされる。
σ ∈ GL(n, A) と α ∈ A^n に対して写像 f:A^n → A^n を f(x) = σx + α で定義する。
この写像を φ(σ, α) と書く。
このとき、φ(σ, α) ∈ Sym(A^n)(>>6)である。
写像 φ:GL(n, A)×A^n → Sym(A^n) は単射であり、
φ(GL(n, A)×A^n) は Sym(A^n) の部分群である。

証明
φ(σ, α) = φ(1, α)φ(σ, 0) である。
φ(σ, 0) と φ(1, α) はそれぞれ全単射であるから φ(σ, α) も全単射である。
よって、φ(σ, α) ∈ Sym(A^n) である。

各 i (1 ≦ i ≦ n)に対して e_i を第 i 成分が 1 である単位ベクトルとする。
φ(σ, α)(e_i) = σ_i + α である。
ここで σ_i は σ の第 i 列である。
よって、σ_i = φ(σ, α)(e_i) - φ(σ, α)(0)
α = φ(σ, α)(0)
よって、σ と α は写像 φ(σ, α) により一意に決まる。
よって、φ:GL(n, A)×A^n → Sym(A^n) は単射である。

(σ, α)、(τ, β) ∈ GL(n, A)×A^n のとき
φ(σ, α)φ(τ, β)(x) = σ(τx + β) + α = στx + σβ + α
よって、φ(σ, α)φ(τ, β) = φ(στ, σβ + α) である。
よって、φ(σ, α)φ(σ^(-1), -(σ^(-1))α) = φ(1, 0)
φ(1, 0) は A^n の恒等写像であるから φ(σ^(-1), -(σ^(-1))α) は φ(σ, α) の逆写像である。
以上から φ(GL(n, A)×A^n) は Sym(A^n) の部分群である。
証明終

446 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 07:23:53.05
定義
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
φ:GL(n, A)×A^n → Sym(A^n) を>>445で定義した写像とする。
>>445より φ(GL(n, A)×A^n) は Sym(A^n) の部分群である。
この群を A 上の n 次の一般アフィン線型群と呼び AGL(n, A) と書く。

447 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 07:57:14.63
命題
G を群とする。
X を推移的(過去スレpart5の107)な G-集合とする。
x を X の任意の元とする。
G_x を x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
N を G の正規部分群とする。

このとき以下は同値である。

(1)N は X に推移的に作用する。

(2)G = N(G_x)

(3)G = (G_x)N

証明
(1) ⇒ (2)
任意の σ ∈ G に対して σx = τx となる τ ∈ N がある。
τ^(-1)σx = x だから τ^(-1)σ ∈ G_x
よって、σ ∈ τG_x ∈ N(G_x)
よって、G = N(G_x)

(2) ⇒ (1)
G は X に推移的に作用するから、任意の y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G がある。
G = N(G_x) だから σ = τρ となる τ ∈ N、ρ ∈ G_x がある。
y = σx = τρx = τx
よって、N は X に推移的に作用する。

(2) ⇔ (3)
N が G の正規部分群であることから明らか。
証明終

448 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 09:16:08.39
補題
G を群とする。
X を忠実(過去スレpart5の843)な G-集合(過去スレpart5の77)とする。
N を G の正規部分群とする。
N は X に推移的(>>281)に作用するとする。
x を X の任意の元とする。
H を G に関する x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
Int:G → Aut(G) を内部表現(過去スレpart5の749)とする。
σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。
これを φ(σ) と書けば準同型 φ:H → Aut(N) が得られる。
このとき φ は単射である。

証明
σ ∈ Ker(φ) とする。
N は X に推移的に作用するから任意の y ∈ X に対して y = τx となる τ ∈ N がある。
一方、φ(σ) = 1 であるから任意の τ ∈ N に対して φ(σ)(τ) = στσ^(-1) = τ
よって、στ = τσ
よって、σy = στx = τσx = τx = y
G は忠実だから σ = 1
証明終

449 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 10:25:18.85
命題
G を指数 p の基本アーベル群(>>406)とする。
|G| = p^n とする。
Aut(G) を G の自己同型群とする。
このとき Aut(G) は GL(n, Z/pZ)(>>444)に同型である。
ここで、Z は有理整数環である。

証明
>>409より G は Z/pZ 上の線型空間と見なされる。
G は Z/pZ 上の線型空間として (Z/pZ)^n と同型である。
(Z/pZ)^n を Z/pZ 上の n 次の列ベクトルの集合と見なす。
このとき GL(n, Z/pZ) は (Z/pZ)^n の Z/pZ 上の線型空間としての自己同型群と見なされる。
G の群としての自己同型は Z/pZ 上の線型空間としての自己同型である。
よって、Aut(G) は GL(n, Z/pZ) に同型である。
証明終

450 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 10:39:32.58
命題
N を指数 p の基本アーベル群(>>406)とする。
|N| = p^n とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
σ ∈ Aut(N) と α ∈ N に対して写像 f:N → N を f(x) = σx + α で定義する。
この写像を φ(σ, α) と書く。
このとき、φ(σ, α) ∈ Sym(N)(>>6)である。
写像 φ:Aut(N)×N → Sym(N) は単射であり、
φ(Aut(N)×N) は Sym(N) の部分群である。
さらに φ(Aut(N)×N) は AGL(n, Z/pZ) (>>446)に同型である。

証明
>>449>>445より明らかである。

451 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 11:53:16.56
命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ:H → Aut(N) を準同型とする。
s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) を x^s と書く。
直積集合 N×H に次のような演算を入れる。
(x, s)(y, t) = (x(y^s), st)
このとき N×H は群となる。

証明
((x, s)(y, t))(z, u) = (x(y^s), st)(z, u) = (x(y^s)z^(st), stu)
(x, s)((y, t)(z, u)) = (x, s)(y(z^t), tu) = (x(y(z^t))^s, stu) = (x(y^s)z^(st), stu)
よって、((x, s)(y, t))(z, u) = (x, s)((y, t)(z, u))
よって、N×H は結合律を満たす。

(x, s)(1, 1) = (x(1^s), s) = (x, s)
(1, 1)(x, s) = (1(x^1), s) = (x, s)
よって、(1, 1) は N×H の単位元である。

(x, s) の逆元を求めてみよう。
(x, s)(y, t) = (1, 1) とする。
(x(y^s), st) = (1, 1)
よって、x(y^s) = 1、st = 1
よって、y^s = x^(-1)、t = s^(-1)
よって、y = (x^(-1))^(s^(-1)
よって、(y, t) = ((x^(-1))^(s^(-1), s^(-1)) である。

これが (x, s) の逆元であることは次のように確かめられる。
(x, s)((x^(-1))^(s^(-1), s^(-1)) = (1, 1)
((x^(-1))^(s^(-1), s^(-1))(x, s) = (1, 1)
証明終

452 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 11:59:33.80
定義
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ:H → Aut(N) を準同型とする。
>>451より N×H は群となる。
この群を N と H の ψ による半直積といい (N僣)_ψ と書く。

453 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 12:20:52.61
命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ:H → Aut(N) を準同型とする。
G = (N僣)_ψ (>>452)とする。
写像 f:N → G を f(x) = (x, 1) で定義する。
写像 g:H → G を g(s) = (1, s) で定義する。
明らかに f と g はそれぞれ単射準同型である。
このとき f(N) は G の正規部分群であり G = f(N)g(H)、f(N) ∩ g(H) = 1 となる。

証明
λ:G → H を λ(x, s) = s で定義する。
λ は準同型でありその核は f(N) である。
よって、f(N) は G の正規部分群である。
任意の (x, s) ∈ G に対して (x, s) = (x, 1)(1, s) である。
よって、G = f(N)g(H) である。
f(N) ∩ g(H) = 1 は明らかである。
証明終

454 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 12:28:24.10
命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ:H → Aut(N) を準同型とする。
s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) を x^s と書く。
G = (N僣)_ψ (>>452)とする。
写像 f:N → G を f(x) = (x, 1) で定義する。
写像 g:H → G を g(s) = (1, s) で定義する。
x ∈ N、s ∈ H のとき
g(s)f(x)g(s)^(-1) = f(x^s) である。

証明
g(s)f(x)g(s)^(-1) = (1, s)(x, 1)(1, s)^(-1) = (x^s, s)(1, s)^(-1) = (x^s, 1) = f(x^s)
証明終

455 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 12:55:37.91
命題
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
Int:G → Aut(G) を内部表現(過去スレpart5の749)とする。
σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。
これを ψ(σ) と書けば準同型 ψ:H → Aut(N) が得られる。
過去スレpart1の537より G の任意の元 σ は σ = xs、x ∈ N、s ∈ H と一意に書ける。
g に (x, s) ∈ (N僣)_ψ (>>452)を対応させる写像を λ:G → (N僣)_ψ とする。
このとき λ は群としての同型である。

証明
λ は全単射であるから λ が準同型であることを証明すればよい。

s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) = sxs^(-1) を x^s と書く。

σ、τ ∈ G とし、
σ = xs、x ∈ N、s ∈ H
τ = yt、y ∈ N、t ∈ H
とする。

στ = (xs)(yt) = x(sy)t = x(sys^(-1)s)t = x(y^s)st
よって、λ(στ) = λ(σ)λ(τ)
証明終

456 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 14:01:44.95
次の補題は過去スレpart5の75の特別な場合である。

補題
G を群とする。
X を集合とする。
End(X) を X から X への写像全体とする。
f:G → End(X) を写像とする。
f は以下の条件を満たすとする。

(1)f(1) = 1

(2)任意の x、y ∈ G に対して f(xy) = f(x)f(y)

このとき f(G) ⊂ Sym(X) (>>6)である。

証明
任意の x ∈ G に対して
f(x)f(x^(-1)) = f(x^(-1))f(x) = f(1) = 1
よって、f(x) と f(x^(-1)) は互いに逆写像である。
よって、f(x) ∈ Sym(X)
証明終

457 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 14:08:07.07
命題
N をアーベル群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
H を群とする。
ψ:H → Aut(N) を準同型とする。
G = (N僣)_ψ (>>452)とする。
(x, s) ∈ G に対して写像 f:N → N を f(u) = ψ(s)(u) + x で定義する。
この写像を φ(x, s) と書く。
このとき φ(x, s) ∈ Sym(N)(>>6)であり
φ:G → Sym(N) は準同型である。

証明
(0, 1) は G の単位元であり、φ(0, 1) = 1 である。

任意の u ∈ N と (x, s)、(y, t) ∈ G に対して

φ(x, s)φ(y, t)(u) = φ(x, s)(ψ(t)(u) + y)
= ψ(s)(ψ(t)(u) + y) + x = ψ(st)(u) + ψ(s)y + x
= φ(ψ(s)y + x, st)(u)
= φ((x, s)(y, t))(u)

よって、
φ((x, s)(y, t)) = φ(x, s)φ(y, t)

よって、>>456より φ(x, s) ∈ Sym(N) でありφ:G → Sym(N) は準同型である。
証明終

458 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 14:30:40.72
命題
N をアーベル群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
H を群とする。
ψ:H → Aut(N) を準同型とする。
G = (N僣)_ψ (>>452)とする。
φ:G → Sym(N) を>>457で定義した準同型とする。
このとき Ker(φ) = {0}×Ker(ψ) = {(0, s); s ∈ Ker(ψ)} である。

証明
φ(x, s) = 1 とする。
任意の u ∈ N に対して φ(x, s)(u) = ψ(s)(u) + x = u
よって、φ(x, s)(0) = x = 0
よって、φ(0, s)(u) = ψ(s)(u) = u
よって、ψ(s) = 1
よって、s ∈ Ker(ψ)

逆に s ∈ Ker(ψ) のとき φ(0, s)(u) = ψ(s)(u) = u
よって、φ(0, s) = 1
証明終

459 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 14:42:07.19
>>455の修正

命題
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
Int:G → Aut(G) を内部表現(過去スレpart5の749)とする。
σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。
これを ψ(σ) と書けば準同型 ψ:H → Aut(N) が得られる。
過去スレpart1の537より G の任意の元 σ は σ = xs、x ∈ N、s ∈ H と一意に書ける。
σ に (x, s) ∈ (N僣)_ψ (>>452)を対応させる写像を λ:G → (N僣)_ψ とする。
このとき λ は群としての同型である。

証明
λ は全単射であるから λ が準同型であることを証明すればよい。

s ∈ H、x ∈ N のとき ψ(s)(x) = sxs^(-1) を x^s と書く。

σ、τ ∈ G とし、
σ = xs、x ∈ N、s ∈ H
τ = yt、y ∈ N、t ∈ H
とする。

στ = (xs)(yt) = x(sy)t = x(sys^(-1)s)t = x(y^s)st
よって、λ(στ) = λ(σ)λ(τ)
証明終

460 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 15:35:55.67
命題
N を指数 p の基本アーベル群(>>406)とする。
|N| = p^n とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
H を群とする。
ψ:H → Aut(N) を単射準同型とする。
このとき (N僣)_ψ (>>452)は AGL(n, Z/pZ) (>>446)の部分群に同型である。

証明
>>450>>457>>458による。

461 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 15:46:23.95
命題
G を群とする。
N をその正規部分群で指数 p の基本アーベル群(>>406)とする。
|N| = p^n とする。
H を G の部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
Int:G → Aut(G) を内部表現(過去スレpart5の749)とする。
σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。
これを ψ(σ) と書けば準同型 ψ:H → Aut(N) が得られる。
このとき ψ が単射であれば G は AGL(n, Z/pZ) (>>446)の部分群に同型である。

証明
>>459より G は (N僣)_ψ (>>452)に同型である。
>>460より (N僣)_ψ は AGL(n, Z/pZ) の部分群に同型である。
証明終

462 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 15:58:20.97
命題
G を有限可解群とする。
X を忠実(過去スレpart5の843)かつ原始的(>>355)な G-集合とする。
>>439より |X| は素数冪 p^n である。
このとき G は AGL(n, Z/pZ) (>>446) の部分群に同型である。
ここで、Z は有理整数環である。

証明
N を G の極小正規部分群(>>412)とする。
>>436より N は基本アーベル群(>>406)である。
>>443より N は X に正則(>>280)に作用する。
よって、|X| = |N| = p^n である。
x を X の任意の元とする。
H を G に関する x の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
>>447より G = NH である。
>>443より N は X に正則(>>280)に作用する。
よって、>>284より N ∩ H = 1 である。

Int:G → Aut(G) を内部表現(過去スレpart5の749)とする。
s ∈ H のとき Int(s)(N) = N であるから Int(s) は N の自己同型を引き起こす。
これを ψ(s) と書けば準同型 ψ:H → Aut(N) が得られる。
>>448より ψ は単射である。
よって、>>461より G は AGL(n, Z/pZ) の部分群に同型である。
証明終

463 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 16:11:30.34
命題(Galois)
G を有限可解群とする。
X を素数次数(>>275)の忠実(過去スレpart5の843)かつ推移的(過去スレpart5の107)な
G-集合(過去スレpart5の77)とする。
このとき G は AGL(1, Z/pZ) (>>446) の部分群に同型である。
ここで、Z は有理整数環である。

証明
>>363より G は X に原始的(>>355)に作用する。
よって、>>462より G は AGL(1, Z/pZ) の部分群に同型である。
証明終

464 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 17:00:45.09
命題
G を有限可解群(過去スレpart1の550)とする。
X を忠実(過去スレpart5の843)かつ原始的(>>355)な G-集合とする。
このとき G は唯一の非自明な(即ち単位群でない)アーベル正規部分群 H を持つ。
H は G の唯一の極小正規部分群(>>412)であり基本アーベル群(>>406)である。

証明
G は X 上原始的だから X 上推移的で |X| ≧ 2 である。
よって、>>437より G ≠ 1 である。
よって、>>413より G は極小正規部分群(>>412)N を持つ。
>>436より N は基本アーベル群である。
>>438より N は X に推移的に作用する。
>>440より N は正則に X に作用する。
よって、|N| = |X| である。

H ≠ 1 を G のアーベル正規部分群とする。
N = H を示せば良い。
>>438より H は X に推移的に作用する。
よって、>>440より H は正則に X に作用する。
よって、|H| = |X| である。
N は G の極小正規部分群だから H ∩ N = 1 または H ∩ N = N である。
H ∩ N = 1 なら HN は G のアーベル正規部分群であり |HN| = |H||N| = |X|^2 となる。
他方 NH は正則に X に作用するから |NH| = |X| である。
これは矛盾である。
よって、N ∩ H = H である。
よって、H ⊂ N である。
|H| = |N| = |X| であるから H = N である。
証明終

465 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 18:24:45.55
定義
G を群とする。
X を G-集合(過去スレpart5の77)とする。
m(1 ≦ m ≦ |X|)を整数とする。
σ ∈ G、x = (x_1、...、x_m) ∈ X^[m](>>381)のとき
σx = (σx_1、...、σx_m) と定義することにより X^[m] は G-集合となる。
X^[m] が正則(>>280)な G-集合のとき
X を m 重強推移的(sharply m-transitive)な G-集合という。

466 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/28(水) 18:48:57.01
命題
Z を有理整数環とする。
p を素数とする。
G = AGL(1, Z/pZ) (>>446) とおく。
X = Z/pZ とおく。
G は Sym(X) の部分群である。
よって、X は忠実(過去スレpart5の843)な G-集合と見なせる。
このとき X は 2 重強推移的(>>465)な G-集合である。

証明
任意の b ∈ X に対して X 上の置換 x → x + b は 0 を b に写すから G は X に推移的に作用する。
H を G に関する 0 の安定化部分群(過去スレpart5の93)とする。
H は X 上の置換 x → ax 全体からなる。
ここで a ∈ X - {0} である。
任意の x、y ∈ X - {0} に対して y = ax となる a ∈ X - {0} が存在する。
よって、H は X - {0} に推移的に作用する。
よって、>>386より G は X に 2 重推移的(>>382)に作用する。
a ∈ X - {0} に対して ax = x となる x ∈ X - {0} が存在するなら a = 1 である。
よって、>>284より X は 2 重強推移的な G-集合である。
証明終

467 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 04:49:31.37
命題
N を指数 p の基本アーベル群(>>406)とする。
|N| = p^n とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
H を群とする。
ψ:H → Aut(N) を同型とする。
このとき (N僣)_ψ (>>452)は AGL(n, Z/pZ) (>>446)に同型である。

証明
>>450>>457>>458による。

468 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 05:02:49.30
命題
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
π:G → G/N を標準射とする。
ι:H → G を包含写像とする。
このとき πι:H → G/N は同型である。

証明
f = πι とおく。
f(H) = NH/N = G/N であるから f は全射である。
Ker(f) = H ∩ N = {1}
よって、f は同型である。
証明終

469 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 05:13:06.81
命題
G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。
G = NH、N ∩ H = {1} とする。
このとき G が可解(過去スレpart1の550)であるためには N と H が可解であることが必要十分である。

証明
必要性:
過去スレpart1の565より N は可解である。
過去スレpart1の560より G/N は可解である。
>>468より G/N は H と同型であるから H は可解である。

十分性:
>>468より G/N は H と同型であるから G/N は可解である。
よって、過去スレpart1の566より G は可解である。
証明終

470 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 05:16:59.70
命題
N と H を群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
ψ:H → Aut(N) を準同型とする。
このとき (N僣)_ψ (>>452)が可解(過去スレpart1の550)であるためには
N と H が可解であることが必要十分である。

証明
>>453>>469による。

471 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 05:24:09.48
命題
N を素数位数 p の巡回群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
このとき Aut(N) は Z/pZ の乗法群 (Z/pZ)^* に同型である。

証明
>>449より明らかである。

472 :132人目の素数さん:2012/03/29(木) 05:24:42.02
>>Kummer
うるせぇインキン野郎が

473 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 05:28:45.50
命題
N を素数位数 p の巡回群とする。
Aut(N) を N の自己同型群とする。
このとき Aut(N) は位数 p - 1 の巡回群である。

証明
>>471より Aut(N) は (Z/pZ)^* に同型である。
過去スレpart1の332より (Z/pZ)^* は巡回群である。
証明終

474 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 05:40:33.48
命題
p を任意の素数とする。
AGL(1, Z/pZ) (>>446)は位数 p(p - 1) の可解群(過去スレpart1の550)である。

証明
N を素数位数 p の巡回群とする。
H を N の自己同型群とする。
ψ:H → H を恒等写像とする。
>>467より (N僣)_ψ (>>452)は AGL(1, Z/pZ) に同型である。
>>473より H は位数 p - 1 の巡回群である。
よって、>>470より (N僣)_ψ は可解である。
|(N僣)_ψ| = |N||H| = p(p - 1) である。
証明終

475 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 06:38:23.89
命題
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
A^n を A 上の n 次の列ベクトルの集合と見なす。
Aut(A^n) をアーベル群としての A^n の自己同型群とする。
H = GL(n, A) (>>444)とおく。
H は A^n の A-加群としての自己同型群と見なされる。
よって、H ⊂ Aut(A^n) と見なされる。
ψ:H → Aut(A^n) を包含写像とする。
σ ∈ H と α ∈ A^n に対して写像 f:A^n → A^n を f(x) = σx + α で定義する。
この写像を φ(σ, α) と書く。
>>445>>446より φ(σ, α) ∈ AGL(n, A)(>>446)である。
このとき、(α, σ) ∈ ((A^n)僣)_ψ (>>452)に φ(σ, α) ∈ AGL(n, A) を対応させる写像
Ψ:((A^n)僣)_ψ → AGL(n, A) は同型である。

証明
>>445より Ψ は全単射である。
よって、Ψ が準同型であることを証明すればよい。

(α, σ)、(β, τ) ∈ ((A^n)僣)_ψ のとき
(α, σ)(β, τ) = (α + σβ, στ)

他方、>>445の証明より
φ(σ, α)φ(τ, β) = φ(στ, σβ + α)

よって、Ψ は準同型である。
証明終

476 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 07:28:25.74
命題
K を可換体とする。
GL(n, K) (>>444)は K^n - {0} に推移的(過去スレpart5の107)に作用する。

証明
x と y を K^n - {0} の任意の元とする。
x ≠ 0 であるから K^n の K 上の基底 e_1、...、e_n で x = e_1 となるものが存在する。
y ≠ 0 であるから K^n の K 上の基底 f_1、...、f_n で y = f_1 となるものが存在する。
σ(e_i) = f_i、i = 1、...、n となる σ ∈ GL(n, K) が一意に存在する。
このとき σ(x) = y である。
証明終

477 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 08:28:39.74
命題
K を可換体とする。
|K| ≠ 2 とする。
n ≧ 2 のとき GL(n, K) (>>444)は K^n - {0} 上 2 重推移的(過去スレpart5の107)ではない。

証明
x、y ∈ K^n - {0} で x と y は K 上線型独立とする。
|K| ≠ 2 であるから α ∈ K - {0, 1} がある。
αx ∈ K^n - {0} で x ≠ αx である。
x と αx は K 上線型独立ではないから σx = x、σy = αx となる σ ∈ GL(n, K) は存在しない。
証明終

478 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 08:37:18.74
命題
Z を有理整数環とする。
K = Z/2Z とする。
n ≧ 2 のとき GL(n, K) (>>444)は K^n - {0} 上 2 重推移的(過去スレpart5の107)である。

証明
x、y ∈ K^n - {0} で x ≠ y とする。
このとき x と y は K 上線型独立である。
よって、x と y を含む K^n の K 上の基底が存在する。
よって、>>476の証明と同様にして GL(n, K) は K^n - {0} 上 2 重推移的である。
証明終

479 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 08:40:35.49
>>477の修正

命題
K を可換体とする。
|K| ≠ 2 とする。
n ≧ 2 のとき GL(n, K) (>>444)は K^n - {0} 上 2 重推移的(>>382)ではない。

証明
x、y ∈ K^n - {0} で x と y は K 上線型独立とする。
|K| ≠ 2 であるから α ∈ K - {0, 1} がある。
αx ∈ K^n - {0} で x ≠ αx である。
x と αx は K 上線型独立ではないから σx = x、σy = αx となる σ ∈ GL(n, K) は存在しない。
証明終

480 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 08:43:23.13
>>478の修正

命題
Z を有理整数環とする。
K = Z/2Z とする。
n ≧ 2 のとき GL(n, K) (>>444)は K^n - {0} 上 2 重推移的(>>382)である。

証明
x、y ∈ K^n - {0} で x ≠ y とする。
このとき x と y は K 上線型独立である。
よって、x と y を含む K^n の K 上の基底が存在する。
よって、>>476の証明と同様にして GL(n, K) は K^n - {0} 上 2 重推移的である。
証明終

481 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 09:05:43.42
多重推移的(>>382)置換群の分類は長く未解決の問題であったが有限単純群の分類の結果を使って解決された。
英語版 wikipediaによると対称群と交代群以外の 4 重推移的な置換群は
Mathieu群と呼ばれる 4 個の群しかない。
対称群と交代群以外の 3 重推移的な置換群は無限個ある。

482 :132人目の素数さん:2012/03/29(木) 09:14:26.34
>>481
>対称群と交代群以外の 3 重推移的な置換群は無限個ある。
有限体上の射影直線上の射影変換群

483 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 09:51:20.63
命題
K を可換体とする。
AGL(n, K) (>>446)は K^n に 2 重推移的(>>382)に作用する。

証明
任意の α ∈ K^n に対して K^n 上の置換 x → x + α は 0 を α に写すから
AGL(n, K) は K^n に推移的に作用する。
σ ∈ GL(n, K) (>>444)と α ∈ K^n に対して K^n 上の置換 x → σx + α を
φ(σ, α) と書く。
φ(σ, α)(0) = α であるから φ(σ, α)(0) = 0 なら α = 0 である。
よって、0 ∈ K^n の安定化部分群(過去スレpart5の93)は GL(n, K) である。
>>476より GL(n, K) は K^n - {0} に推移的に作用する。
よって、>>386より AGL(n, K) は K^n に 2 重推移的に作用する。
証明終

484 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 10:13:00.30
>>481
ここでいう置換群は有限集合上の置換群のことである。
無限集合上の置換群では事情は異なる。

485 :132人目の素数さん:2012/03/29(木) 10:18:06.15
>>484
は?ふざけんな!

486 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 10:38:36.61
命題
K を可換体とする。
AGL(1, K) (>>446)は K に 2 重強推移的(>>465)に作用する。

証明
>>483より AGL(1, K) は K に 2 重推移的(>>382)に作用する。
即ち AGL(1, K) は K^[2](>>381)に推移的(過去スレpart5の107)に作用する。
x ∈ K - {0} を任意にとる。
>>284より (0, x) ∈ K^[2] の安定化部分群(過去スレpart5の93)が 1 であることを示せばよい。

任意の σ ∈ AGL(1, K) は K 上の置換 z → az + b である。
ここで、a ∈ K - {0}、b ∈ K である。
σ(0, x) = (0, x) とする。
即ち σ0 = 0、σx = x とする。
b = 0 であるから ax = x である。
x ≠ 0 であるから a = 1 である。
よって、σ = 1 である。
証明終

487 :132人目の素数さん:2012/03/29(木) 10:44:34.84
>>485
意味不明

488 :132人目の素数さん:2012/03/29(木) 10:53:08.16
>>487
いつまでたっても被災者に謝罪しないお前が意味不明だよ

489 :132人目の素数さん:2012/03/29(木) 10:59:16.28
何の謝罪?

490 :132人目の素数さん:2012/03/29(木) 11:07:19.34
>>488
何の謝罪?

491 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 11:19:21.30
命題
G を群とする。
N を G の正規部分群とする。
N を含む G の正規部分群全体を Γ(G, N) とする。
G/N の正規部分群全体を Γ(G/N) とする。
H ∈ Γ(G, N) のとき H/N ∈ Γ(G/N) であり、
この対応は全単射 Γ(G, N) → Γ(G/N) である。

証明
π:G → G/N を標準写像とする。
H ∈ Γ(G, N) とする。
任意の x ∈ G と h ∈ H に対して xhx^(-1) ∈ H
よって、π(xhx^(-1)) = π(x)π(h)π(x)^(-1) ∈ π(H)
よって、π(H) = H/N ∈ Γ(G/N) である。

逆に Γ(G/N) の任意の元は H/N の形に一意に書ける。
ここで、H は N を含む G の部分群である。
π(H) = H/N は G/N の正規部分群である。
よって、任意の x ∈ G と h ∈ H に対して π(x)π(h)π(x)^(-1) ∈ π(H) である。
π(x)π(h)π(x)^(-1) = π(xhx^(-1)) であるから xhx^(-1) ∈ HN = H
よって、H は G の正規部分群である。
証明終

492 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 12:08:55.28
命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
|K| = q とする。
AGL(1, K) (>>446)は位数 q(q - 1) の可解群(過去スレpart1の550)である。

証明
K^* = K - {0} を K の乗法群とする。
K を加法に関してアーベル群とみたときの自己同型群を Aut(K) とする。
a ∈ K^* のとき K の置換 x → ax は Aut(K) の元である。
よって、単射準同型 ψ:K^* → Aut(K) が定義される。
>>475より (K僵^*)_ψ (>>452)は AGL(1, K) に同型である。
過去スレpart1の332より K^* は巡回群である。
K はアーベル群だから>>470より (K僵^*)_ψ は可解群である。
よって、AGL(1, K) は可解群である。
|AGL(1, K)| = |(K僵^*)_ψ| = |K||K^*| = q(q - 1) である。
証明終

493 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 12:41:07.51
命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
b ∈ K のとき K 上の置換 x → x + b を τ_b と書く。
このとき N = {τ_b; b ∈ K} は K と群として同型であり、
AGL(1, K) (>>446)の唯一の非自明な(即ち単位群でない)アーベル正規部分群である。
さらに N は AGL(1, K) の唯一の極小正規部分群(>>412)であり基本アーベル群(>>406)である。

証明
>>492の証明より AGL(1, K) (>>446)は (K僵^*)_ψ (>>452)と同型である。
写像 f:K → (K僵^*)_ψ を f(b) = (b, 1) で定義する。
>>453より f は単射準同型であり f(K) は (K僵^*)_ψ の正規部分群である。
f(K) に対応する AGL(1, K) の部分群は N であるから
N は K と同型であり AGL(1, K) の正規部分群である。

>>483より AGL(1, K) は K に忠実(過去スレpart5の843)かつ 2 重推移的(>>382)に作用する。
>>401より AGL(1, K) は K に原始的(>>355)に作用する。
よって、>>464より本命題の主張が得られる。
証明終

494 :132人目の素数さん:2012/03/29(木) 12:44:05.58
>>Kummer
賠償は?

495 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 12:46:16.43
>>493の修正

命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
b ∈ K のとき K 上の置換 x → x + b を τ_b と書く。
このとき N = {τ_b; b ∈ K} は K と群として同型であり、
AGL(1, K) (>>446)の唯一の非自明な(即ち単位群でない)アーベル正規部分群である。
さらに N は AGL(1, K) の唯一の極小正規部分群(>>412)であり基本アーベル群(>>406)である。

証明
G = AGL(1, K) とおく。
>>492の証明より Gは (K僵^*)_ψ (>>452)と同型である。
写像 f:K → (K僵^*)_ψ を f(b) = (b, 1) で定義する。
>>453より f は単射準同型であり f(K) は (K僵^*)_ψ の正規部分群である。
f(K) に対応する G の部分群は N であるから
N は K と同型であり G の正規部分群である。

>>483より G は K に忠実(過去スレpart5の843)かつ 2 重推移的(>>382)に作用する。
よって、>>401より G は K に原始的(>>355)に作用する。
>>492より G は可解群(過去スレpart1の550)である。
よって、>>464より本命題の主張が得られる。
証明終

496 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/29(木) 13:11:35.56
命題
K を有限体(過去スレpart4の681)とする。
|K| = q とする。
G = AGL(1, K) (>>446)とする。
G の単位群でない正規部分群の全体を Ω^* とする。
このとき Ω^* から q - 1 の約数全体への全単射が存在する。

証明
>>495より Ω^* は最小元 N を持つ。
>>492の証明より G は (K僵^*)_ψ (>>452)と同型である。
>>453>>468より G/N は K^* に同型である。
過去スレpart1の332より K^* は巡回群である。
|K^*| = q - 1 であるから K^* の部分群全体は q - 1 の約数全体と1対1に対応する。
よって、>>491より本命題の主張が得られる。
証明終

497 :132人目の素数さん:2012/04/05(木) 13:39:07.18


498 :132人目の素数さん:2012/04/16(月) 19:51:12.70
test

499 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 08:55:20.47
Kummer
どこへ?

500 :132人目の素数さん:2012/04/27(金) 08:58:40.09
転載

137 :132人目の素数さん:2012/03/05(月) 11:40:47.44
>>Kummer
寂しいのか?

138 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 12:00:47.62
からかってるだけだw



501 :132人目の素数さん:2012/05/11(金) 09:31:00.93
転載
134 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/04(日) 17:52:28.41
で逮捕厨はどこ行った?


136 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/05(月) 11:39:12.23
おーい逮捕厨どこ行った?

146 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 13:34:04.40
で逮捕厨はどこ行った?
恥ずかしがらずに出て来いよw


147 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2012/03/08(木) 13:35:30.79
まだあれから3ヶ月しかたってないから諦めるのは早いぞw


502 :132人目の素数さん:2012/05/20(日) 05:00:06.02
test

503 :132人目の素数さん:2012/05/27(日) 13:34:35.07
test

504 :132人目の素数さん:2012/05/31(木) 14:17:48.56
AA貼っている奴はアク禁にならないの?

505 :132人目の素数さん:2012/06/01(金) 01:51:08.87
とりあえず、生誕201年おめでとう

506 :132人目の素数さん:2012/08/09(木) 08:06:14.85


      .  ∧_∧  
       (´・ω・) ニャー
       .c(,_uuノ





507 :baka描 ◆ghclfYsc82 :2012/08/09(木) 10:42:21.93


>14 名前:132人目の素数さん :2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間。
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>


508 :132人目の素数さん:2012/08/11(土) 19:57:55.53
がロア

509 :132人目の素数さん:2012/08/11(土) 19:59:08.57
この前ズリダチとタイマン勝負したことを書くぜ。
互いに六尺姿でまずは威嚇、腕組みヤニ咥えガン飛ばし、
大股で筋肉と勃起誇張して、野郎比べだ。
雄臭ぇポーズで挑発しあう。腰突き出し勃起を振り回し、
オラオラ節で興奮に火が付く。
やわらオイルをタップリ仕込んで、いよいよズリ戦開始だ。
胴ズリ、逆ズリ、雁ズリ、玉ズリ、上ズリ、下ズリ。
野郎うなぎ責め、腰砕けの手マンコ、野郎泣かせの亀頭責め。
片手技と両手技の競り合いで、雄の粋と艶を比べ合う。
ズリ見せ根性丸出しでな。
一息入れる時にゃ、奴の胸板めがけて、勃起ションベン。
ビシバシ痛ぇくらいに、照射すりゃ、雄の征服感が全身を
快感となって駆け回る。
さらにオイルを仕込んで2R。
今度は俺のズリビデオ見せながらのダブルズリ攻撃さ。
ラッシュ飛ばして、ド淫乱野郎に変獣し、チンポ・センズリ・押忍の連呼。
俺達はまさに、チンポ、ズリ、男意気を激しく比べ合う戦闘士だ。
寸止めのエロい表情も相手を落とす神技、何度も食らう度に金玉の
引きつる痛みさえ新たな快感に変わる。
その時、ほんの少しの気の緩みで奴は快感のコントロールを失い
野獣の如く咆哮し射精の痙攣に突入。
2回に渡るファイトはいずれも俺の勝利、最後は奴のチンポめがけて、
野郎征服の快感に酔いながら勝利の照射!
3時間勝負は俺達ズリ舎弟の絆を更に固めたぜ!

510 :baka描 ◆ghclfYsc82 :2012/08/11(土) 22:57:58.36


>14 名前:132人目の素数さん :2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間。
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>


511 :132人目の素数さん:2012/08/22(水) 02:41:59.92
ガロア理論を知らなくても数論で修士を取れるこんな世の中じゃ

512 :541:2012/09/06(木) 21:32:13.61
5-4=1


513 :132人目の素数さん:2012/09/16(日) 09:17:33.49
転載
213 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:29:10.63
どっちかにしろよ
俺が犯罪者なのかキチガイなのか
両立はしないから


215 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/23(金) 14:31:20.01
キチガイは逮捕されても無罪


514 :132人目の素数さん:2012/09/16(日) 09:19:28.29
転載

564 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/28(水) 22:34:00.66
俺を現実の人間と錯覚してるアホがいるな。
俺は2chという電脳空間にのみ存在している。
俺がここに書いたことまたはこれから書くことは全て架空の話だ。
真に受けてる奴がいたら大馬鹿者だよ。


565 : Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/29(木) 07:00:36.61
勿論、俺が書く数学の話は別。
2chだからと言って手は抜かない。
というより自分の為に書いてるから手を抜くわけがない。

515 :132人目の素数さん:2012/09/16(日) 09:21:37.92
19 :132人目の素数さん:2011/05/04(水) 15:56:11.74
本物のクマーなの?


20 :Kummer ◆sIhn3vKAn6iI :2011/05/04(水) 16:05:01.20
>>19
はい、そうです。
今後とも宜しくお願い致します。

516 :132人目の素数さん:2012/12/07(金) 02:36:04.04
代数方程式が5次になれば加減乗除と冪根で解けないのは悲劇ではない
むしろそれは群論という極めて有用な理論を生む種になった
さて話を鏡音リンの「五時のシンデレラ」という歌の内容に切り替える
時刻が5時になれば果たし合いのため推敲を断念せざるを得なかったのは悲劇に違いない
彼がどんなアイデアを持っていたかは永久にわからなくなったのだ

517 :132人目の素数さん:2012/12/11(火) 15:18:04.33
もう、荒らされないよな...?

518 :132人目の素数さん:2012/12/13(木) 13:16:54.71
うむ

519 :132人目の素数さん:2012/12/13(木) 20:48:38.80
数学板は2ちゃん語でいう「荒らし」がもっとも頻出する板にして
2ちゃんでもっとも荒らされない板だよ

達観wしてるからな

520 :132人目の素数さん:2013/01/03(木) 04:55:40.97
age

521 :132人目の素数さん:2013/02/24(日) 11:10:46.29
age

522 :132人目の素数さん:2013/04/28(日) 13:41:44.28
age

523 :132人目の素数さん:2013/04/28(日) 15:36:01.08
 βよ もうスレ嵐しはいいだろう
やめなさい!

524 :132人目の素数さん:2013/05/21(火) 09:53:55.14
test

525 :test:2013/08/28(水) NY:AN:NY.AN
test

526 :132人目の素数さん:2013/10/02(水) 15:17:12.74
test

527 :132人目の素数さん:2013/11/21(木) 18:05:36.57
test

528 :Kummer ◆SgHZJkrsn08e :2014/02/04(火) 08:59:48.25
test

529 :132人目の素数さん:2014/05/14(水) 13:56:25.85
test

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