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高校受験に役立つマニアックな定理【難関校向け】

1 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 13:58:44.64
スチュワートの定理
メネラウスの定理
方べきの定理
ヘロンの公式
ピックの定理は微妙ですが・・・
90°75°15°の三角形で角ABCを15°ACB=90°とすると
AB:BC:CA=√6+√2:1:2+√3
△ABCの外接円の半径=4S/(A×B×C) ※S=△ABCの面積

などのレベルでお願いします!



2 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 14:00:48.57
すみません
AB:BC:CA=√6+√2:2+√3:1
ですね

3 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 14:01:51.35
中学受験する

4 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 14:27:13.96
ラングレーの公式

5 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 14:49:13.30
外積

6 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 14:56:58.41
へんな公式覚えるより高校の勉強をしておく
スチュワートの定理なんて知らんかったが、余弦定理からほぼ自明

7 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:01:45.90
>>6
ありがとう
やっぱ数1 数Aくらいは必要か・・頑張ろう

8 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:05:50.55
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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9 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:06:07.01
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10 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:06:16.00
円周角の定理の逆って、円が全く出てこないのに使えるよね。
盲点みたいなモンだ。

ウチの県の公立の入試問題で一度これ使う問題出て来てびっくりした。


11 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 15:58:35.36
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12 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 20:21:23.74
円周角かあ
確かに盲点だ・・
問題で行き詰ったら円周角を考えた方がいいのかもね

13 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 21:53:08.42
ベクトルを使った面積・体積計算の諸定理は便利だよ。


14 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 22:12:15.58
昔駿台が出していた幾何の本がよい
30年くらい前の本でバイト先の個別指導の塾にあったやつだから
今は多分販売していない

15 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 22:33:29.41
1 名無しさんにズームイン! [] Date:2012/03/28(水) 08:28:15.02 ?ID:NWYs/2ZP Be:
 やらなけゃいけない
 電○の各局への圧力が半端ないんです
 昨日、一昨日前田AKB卒業ネタやった情報番組全てが前田AKB卒業ネタ中の毎分視聴率ダダ下がりしました。
 各局本音では毎分視聴率ダダ下がりするこのネタははやりたくなかったけど原子力村以上に電○からの圧力が凄いんです

なんか海外でも日本でAKBがバカ売れしてるっていう情報に騙されてAKBヲタになった人が最近気付き始めてる件
http://hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1334516585/

税金垂れ流しのヤラセブーム

16 :132人目の素数さん:2012/04/22(日) 22:35:33.32
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17 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 01:25:28.33
ヘロンの公式って中学レベルで証明できるの?

18 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 02:21:03.55
めんどくさいけど可能
三角関数使いてえええええ をわざとらしく抑える感じでw
三平方の定理なしだと無理ゲー

19 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 02:23:21.69
>>12
方べきの定理は高校範囲だけど、方べきの定理の逆と円の性質を結びつけて、円なんか
全くないのに、円の性質を使った難解な問題を作れそうだなw

こうやって、自分ならどんな難解な問題を作るかって考えておくと、いざというときに解ける
と思うよ。

>>10の問題も、オレはそれで解けたしね。

20 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 05:16:37.42
難関の高校入試の数学って、高校入ってから役に立たないよね。
おれは某有名中高一貫校に高校から入ったが、受験の時までは数学得意だったのに高校で落ちこぼれた。

21 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 08:04:26.56
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22 :KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2012/04/23(月) 08:24:18.26
2以上の自然数の素因数分解は積の順序を除きひととおりしかない.
このことは教科書にも書いてあるが, 証明は書いていないかもしれない.
整数a,整数b,素数pに対して,abがpで割り切れるときはaがpで割り切れるかbがpで割り切れることからわかる.
このことは整数a,整数bに対してそれらの最大公約数をdとするとき,ある整数mとある整数nによりma+nb=dとなることからわかる.
これは0より大きい整数bとbより大きい整数aに対してgcd(a,b)=gcd(a-b,b)となることと0より大きい整数の降下列は無限には続かないことからわかる.

23 :猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY :2012/04/23(月) 09:02:45.17
>>22
オマエ、低脳のくせにこんな所で何してんねん。サッサと消えろやナ。



>22 名前:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2012/04/23(月) 08:24:18.26
> 2以上の自然数の素因数分解は積の順序を除きひととおりしかない.
> このことは教科書にも書いてあるが, 証明は書いていないかもしれない.
> 整数a,整数b,素数pに対して,abがpで割り切れるときはaがpで割り切れるかbがpで割り切れることからわかる.
> このことは整数a,整数bに対してそれらの最大公約数をdとするとき,ある整数mとある整数nによりma+nb=dとなることからわかる.
> これは0より大きい整数bとbより大きい整数aに対してgcd(a,b)=gcd(a-b,b)となることと0より大きい整数の降下列は無限には続かないことからわかる.
>


24 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 20:40:26.98
>>19
なるほどww
自分だったらこういう問題をっていう逆の考えか
その問題も面白そうだねww

25 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 20:48:49.46
連レスですが
>>13
ベクトル?とかに踏み込むとどんどん深くまで行っちゃって
中学範囲から大きく逸脱しそうで頑張れそうにないです・・・ww

>>14
今は塾の端っこにあった「高校への数学」
ていうものをちょこちょこやってますけど、どうでしょうか?
結構難しいとは思います

26 :ようじょ ◆hNziS2E8421X :2012/04/23(月) 21:00:03.96
外積つかえばセンターしけんの数学は簡単だとおもうけど、かえってややこしいかもね;

あとはトレミーの定理とかはどうかなー?

27 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 21:01:59.04
毎年旺文社が出している全国高校入試問題の数学をやり尽くしてみる
数オリを目指してみる

28 :ようじょ ◆hNziS2E8421X :2012/04/23(月) 21:06:53.30
ごめんなさい。スレちがいですけど、小学生が数学オリンピックってでれますか?

29 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 21:09:25.00
年齢制限は上限しかない
でもジュニアや算数オリンピックもあるよ

30 :ようじょ ◆hNziS2E8421X :2012/04/23(月) 21:12:23.64
>>29
ありがとうです

31 :132人目の素数さん:2012/04/23(月) 21:15:14.65
>>26
トレミーは知ってはいましたが
あれが使える状況ってほとんどなかったです・・
でもそれの証明なら穴埋めで出てたりもしましたよね

>>27
都立独自問題だとか国立高校とかになると
もうボロボロですww
あと何気に県立の最後の問題も全然わからないです
県立の問題って塾とか問題集とかじゃ解決できそうにない感じのが多いです。。

32 :ようじょ ◆hNziS2E8421X :2012/04/23(月) 21:22:46.42
>>31
年齢ちかそう!
中学生かな?わたしは算数塾でべんきょうしてるよ

あと私もトレミーの証明やったよ。
県立の問題はよくわかんないけど、空間図形と規則性問題の最後はたしかにむずかしい

33 :132人目の素数さん:2012/04/24(火) 07:39:36.96
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      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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35 :132人目の素数さん:2012/04/28(土) 17:24:19.09
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36 :132人目の素数さん:2012/04/29(日) 16:19:50.23
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37 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 18:52:21.37
>>4
今やってみました。あまりの難しさに失笑しましたww・・・・
これって東大生とかでも難しいんじゃないでしょうか?
確かにこれが解ければ図形問題に対する力は付くと思いますが・・


38 :132人目の素数さん:2012/04/30(月) 23:08:56.41
トレミーの定理の証明が穴埋めで出る・・・?
どこの高校だよ見たことないぞ
あとヘロンの公式って役に立たない気がする

39 :132人目の素数さん:2012/05/04(金) 01:55:06.01
>>38
逆に出題者の立場で考えるんだ!ヘロンの公式を使った問題を出せないかを!

たとえば、三角形の3辺の長さが分かっているなら。
当然ヘロンの公式で、ある辺から頂点までの距離も分かる。

40 :132人目の素数さん:2012/05/04(金) 09:20:24.84
>>39
ヘロンの公式が使えるなら他の手段も当然使える
3辺が求まっているなら、

ヘロンでは面積しかわからないが
正弦定理なら角の比が求まる

三角形の角の比が求まると言うことは和が180°だから角が求まる

結果、三辺と面積と全ての角、外接円の半径まで一気に求まる
辺から頂点までの長さは角がわかってれば高さの補助線引いてh=(斜辺)×sinθで全部出せる

ヘロンの公式は形こそ綺麗だけど計算量はそこまで少なくないし、実践向きではない
と思う

まぁ昨日大学入試で誘導付きのトレミーの
証明を見かけたが知らなくても解ける問題だったし


41 :132人目の素数さん:2012/05/04(金) 09:22:33.25
それに三辺が求まってる状況なんて甘えだから
スレタイの【難関校向け】ではない

難関校の図形問題でパッとヘロンが使える、つまり三辺が与えられてるなんてめったにない

42 :132人目の素数さん:2012/05/04(金) 09:37:20.59
>>40
これ、難関「高校」受験のスレだよ。三角関数はさすがに使えないんじゃ…

>>41
辺の長さを他の図形の性質で求めるとか、さらなる難問が考えられるな。

43 :132人目の素数さん:2012/05/06(日) 20:23:25.98
チェバの定理

44 :132人目の素数さん:2012/05/06(日) 20:38:20.51
比の問題のときは適当な角を直角にして
座標平面で計算
同じことだがベクトルでやる

45 :132人目の素数さん:2012/05/06(日) 20:39:54.83
荷重重心を知っていれば一発で求まる場合がセンター試験でも多い

46 :132人目の素数さん:2012/05/06(日) 21:16:25.49
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47 :132人目の素数さん:2012/05/07(月) 21:07:00.37
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48 :132人目の素数さん:2012/05/14(月) 20:34:25.66
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49 :132人目の素数さん:2012/05/19(土) 18:08:24.63
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52 :132人目の素数さん:2012/05/28(月) 23:30:17.88
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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53 :132人目の素数さん:2012/06/03(日) 16:32:25.32
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54 :132人目の素数さん:2012/06/07(木) 23:16:39.10
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55 :132人目の素数さん:2012/06/11(月) 01:49:12.99
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56 :132人目の素数さん:2012/06/11(月) 06:21:14.81
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57 :132人目の素数さん:2012/06/20(水) 00:39:58.55
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58 :132人目の素数さん:2012/06/29(金) 23:50:44.49
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59 :132人目の素数さん:2012/07/10(火) 00:16:43.97
@難関校なら垂直⇔傾きの積が1
A二次方程式の解と係数の関係
B三元連立方程式
を知っていたら有利な問題も多いね。
今年の都立戸山は@とBをやった人はかなり有利でした。


60 :132人目の素数さん:2012/07/10(火) 00:20:16.79
>>1
いたち

61 :132人目の素数さん:2012/07/10(火) 07:51:22.68
×@難関校なら垂直⇔傾きの積が1

62 :馬鹿を焼く描写 ◆ghclfYsc82 :2012/07/16(月) 21:03:06.77
勉強や努力が足りなくて優秀になれない奴が惨めな思いをするのは当然
なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。



>みんなで優秀な人間の足を引っ張って沈もうよ。
>そうすれば自分だけが馬鹿で惨めな思いをしなくて
>すむから楽チン。
>一億総白痴可で横並びになれば怖くは無い
>


63 :132人目の素数さん:2012/07/16(月) 21:12:03.62
ヘロンの公式ってテストのための公式って感じだよな

64 :馬鹿を焼く描写 ◆ghclfYsc82 :2012/07/16(月) 21:16:54.47
勉強や努力が足りなくて優秀になれない奴が惨めな思いをするのは当然
なんだよ。それを自分で何もせずに優秀な人間の足を引っ張るとは言語
道断である。他人を貶めるだけで自分は楽をする奴は恥を知れ。今後も
そういう馬鹿者を発見次第、即刻攻撃を掛けて当該スレを焼け野が原に
するので、覚悟をする様に願いたい。こういう考え方が国家を滅ぼす。
無能な馬鹿は自滅するに任せ、優秀な人材こそを選択的に抽出し、それ
を国家が意図して保護しなければならない。そうする事が国家が生き残
る唯一の道である。繰り返す。何の努力もしない馬鹿を無条件に保護す
れば、その結果として誰も努力しなくなるだけである。だから馬鹿を保
護しては絶対にならない。



>みんなで優秀な人間の足を引っ張って沈もうよ。
>そうすれば自分だけが馬鹿で惨めな思いをしなくて
>すむから楽チン。
>一億総白痴可で横並びになれば怖くは無い
>


65 :132人目の素数さん:2012/08/13(月) 21:05:06.04
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66 :132人目の素数さん:2012/08/14(火) 15:34:42.27
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    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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67 :132人目の素数さん:2012/10/07(日) 07:55:49.04
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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68 :132人目の素数さん:2012/10/07(日) 13:16:45.33
ビアンキ


69 :東大院生:2012/10/22(月) 07:53:26.09
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        このスレ 馬と鹿と豚ばかりね。
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70 :東大院生:2012/10/22(月) 07:54:04.61
 ε⌒ ヘ⌒ヽフ
(   (  ・ω・) ブヒ
  しー し─J

71 :333目の描 ◆ghclfYsc82 :2012/10/22(月) 16:22:35.79


>アホしかいない
>つまり、増田哲也自身がアホ
>
>しかも増田哲也は性犯罪者であり
>アホの中でも最底辺の者にだけ許される ジ・アホの称号を持っている
>


72 :御令嬢様:2012/11/27(火) 02:55:18.62
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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73 :詩織御令嬢様:2012/12/15(土) 00:52:29.26
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74 :132人目の素数さん:2012/12/15(土) 08:43:01.96
難関高校目指す子って1Aとか2Bとか終わらせてるかと思ったけど、そうでもないのか。

75 :132人目の素数さん:2013/01/11(金) 18:44:41.27
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76 :132人目の素数さん:2013/02/02(土) 22:46:59.73
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77 :132人目の素数さん:2013/05/22(水) 23:59:45.70
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78 :132人目の素数さん:2013/05/27(月) 20:21:41.85
オーソドックスなところで、余弦定理・サインの入った面積の公式。サインコサインを知らないといけないけど。

79 :132人目の素数さん:2013/05/27(月) 21:20:21.68
だからー。「高校受験」だろw

80 :132人目の素数さん:2013/05/27(月) 21:34:49.20
どうせ計算して数値が出せるのって三平方の定理から簡単に求まる問題ばっかりだし、
マニアックというより、ただ "使えない" テクニックなような気がする (なんか致命的な問題例があるのかもしれないけど)。
三角比周りだとむしろ、言葉は使わないけど、相似比つかう図形問題で利用してたり、
倍角公式あたりだと証明問題とかでしれっと出てきそう。

81 :78:2013/05/28(火) 03:44:41.34
>79
分かってるよ。
複雑なやり方で三角形(対角線が分かってれば四角形も)の面積を求めさせる問題で役に立ちそうじゃん。
もちろん計算量は増えるから、思考力と計算量のトレードオフにはなりそうだけど。

82 :132人目の素数さん:2013/05/28(火) 20:42:18.43
関数電卓を試験会場で使うのかよw

83 :81:2013/06/02(日) 19:44:40.32
>82
だから余弦定理とあの公式からsinAの値分かるじゃん。電卓必要無し。

84 :132人目の素数さん:2013/06/02(日) 20:37:55.00
>>83
分かるのは本当に限定された角度だけだろ。

85 :83:2013/06/04(火) 05:44:05.25
>84
面積を求めるだけなら角度は必要無いはずだが。sinかcosの値が分かればいい。

86 :132人目の素数さん:2013/06/04(火) 20:58:23.47
sinA は角度 A を決めないと決まらないから件の公式からは面積が計算出来ない。
辺の比を求めるだけでは sin を求めた事にはならない。

87 :85:2013/06/05(水) 20:59:43.37
>86
分かんないかなぁ。
例えば三辺の長さa、b、cを与えられたとするだろ?
どれかの角を余弦で置いて(例えばcosA)、余弦定理を使うとcosAをa、b、cで表せる。
sin^2 A+cos^2 A=1より、sinAもa、b、cで表せる。
よって面積(1/2)bc・sinAは与えられた文字(辺の長さ)だけで表せる。

88 :132人目の素数さん:2013/06/06(木) 20:14:07.25
それは正しいけど、わざわざ sin, cos なんて記号を使わなくても計算できる。
最も簡単に済ませるならヘロンの公式を使えばいいし、初等的な方法をとるなら三平方の定理だけ知っていればいい。
その "sin, cos を使う方法" は、sin, cos については単純に辺の比として計算してよいし、
余弦定理は三平方の定理の拡張で、その証明は三平方の定理による。

まあ別に強硬に否定するほどではないとは思うけど、一朝一夕に使いこなせるような方法ではないし、
より簡単な方法もより単純な方法もあるので、あくまで選択肢の一つ、積極的に「役に立つ」とは言い難いということだけ伝えたかった。
好きな方法に一本槍になるのも、受験というか数学の場では少なからず必要なことだしね。
あと、単に S = bc・sin(A)/2 を使うと言った場合はやっぱり A と sin(A) が分かっている状況を指すと、普通には思うよ。
実際、上で指摘しているひとはそう思ってレスしているわけで。(たとえばもっと複雑な関数に対して同じように言われたらどう取る?)

89 :◆yEy4lYsULH68 :2013/06/08(土) 09:15:19.39
低脳が何を言うても無駄。偉そうな事は自分が何かをやってから言うべき。
馬鹿菌愚には何かを主張する能力も、そして権利も無い。頭が悪い奴は黙
るしかない。人間の価値は所詮は能力と実績でしかない。低脳は黙るべき。



>28 名前:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2013/05/16(木) 22:23:44.62
> Re:>>17 //sketch-img.real.co.jp/contents/15247/15247960.png 私の発明. しかし数学での発明ではない.
>
> 今世に広く知られている事も発見当時は凄いものだった.
> 理事を多く経験すれば, いつか凄いものを発明することもあろう.
> 理事を多く経験しても凄い発明に至らない人も居るかもしれないが, それでも理事を遺すべし.
>

90 :132人目の素数さん:2013/07/05(金) NY:AN:NY.AN
ヘロンの公式とピックの定理は中学受験でも使うかわからんな( ・´ω・`)

91 :132人目の素数さん:2014/01/08(水) 16:10:34.86
他にも教えてちょ

92 :132人目の素数さん:2014/02/28(金) 22:11:22.70
△ABCの内部の、任意の点Pにおいて、
AP^2+BP^2+CP^2が最小となる点Pは △ABCにおける重心Gと一致する。 ・・・重心の性質

△ABcの内部の、任意の点Pにおいて、
AP+BP+CPが最小となる点Pは、
角APB=角BPC=角CPA=120°を満たす。
・・・フェルマー点。

フェルマー点については早高院の過去問にあったから知ってて損はないと思う。

93 :132人目の素数さん:2014/02/28(金) 23:06:05.62
n次多項式P(x)がX=0、1、、、n-1、nで整数値を取るならば、全ての整数xでP(x)は整数値をとる。

証明は数学的帰納法。
P(x+1)-P(x)がPがn次多項式なら、n-1次多項式になることを使う。

94 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 22:25:27.18
ヒポクラテスの月とかたまに使うんじゃね
難関校かわからんけど

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