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群論U

1 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
はじめます。
1.ラグランジュ(前回まとめ)
2.具体例
前回途中だった。
3.ガロア
予定は以上です。

2 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
第1章ラグランジュは何をしたか?(基本対称式と群論)

x+a=0
x^2+ax+b=0
x^3+ax^2+bx+c=0
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0
x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
これらが、解をα、β、γ、δ、ε、とした時に、
x-α=0
x^2-(α+β)x+αβ=0
x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ=0
x^4-(α+β+γ+δ)x^3+(αβ+βγ+γδ+δα+αγ+βδ)x^2-(αβγ+βγδ+γδα+δαβγ)x+αβγδ=0

3 :132人目の素数さん:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
なにをはじめるの?
前回ってなに?

4 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
x^5-(α+β+γ+δ+ε)x^4
+(αβ+βγ+γδ+δε+εα+αγ+βδ+γε+δα+εβ)x^3
+(αβγ+βγδ+γδε+δεα+εαβ)x^2
+(αβγδ+βγδε+γδεα+δεαβ+εαβγ)x
+αβγδε

5 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
2次
α={(α+β)+(α-β)}/2
β={(α+β)-(α-β)}/2
α-β=√(α-β)^2=√{(α+β)^2-4αβ}

3次
α={(α+β+γ)+(α+ωβ+ω^2γ)+(α+ω^2β+ωγ)}/3
β={(α+β+γ)+ω^2(α+ωβ+ω^2γ)+ω(α+ω^2β+ωγ)}/3
γ={(α+β+γ)+ω(α+ωβ+ω^2γ)+ω^2(α+ω^2β+ωγ)}/3

6 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
(α+ωβ+ω^2γ)^3+(α+ω^2β+ωγ)^3
=2(α^3+β^3+γ^3)+3(ω+ω^2)(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)+12αβγ
(α+ωβ+ω^2γ)(α+ω^2β+ωγ)=α^2+β^2+γ^2+(ω+ω^2)(αβ+βγ+γα+αβ+βγ+γα)

αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)-3αβγ
α^3+β^3+γ^3=(α+β+γ)^3-3(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)+3αβγ
α^2+β^2+γ^2=(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)

(α+ωβ+ω^2γ)^3+(α+ω^2β+ωγ)^3
=2(α^3+β^3+γ^3)+3(ω+ω^2)(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)+12αβγ
=2{(α+β+γ)^3-3(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)+3αβγ}-3{(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)-3αβγ}+12αβγ
=2(α+β+γ)^3-9(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)+27αβγ

7 :132人目の素数さん:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
(α+ωβ+ω^2γ)(α+ω^2β+ωγ)=α^2+β^2+γ^2+(ω+ω^2)(αβ+βγ+γα)
=(α+β+γ)^2-3(αβ+βγ+γα)

8 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
4次
α={(α+β+γ+δ)+(α+β-γ-δ)+(α-β+γ-δ)+(α-β-γ+δ)}/4
β={(α+β+γ+δ)+(α+β-γ-δ)-(α-β+γ-δ)-(α-β-γ+δ)}/4
γ={(α+β+γ+δ)-(α+β-γ-δ)+(α-β+γ-δ)-(α-β-γ+δ)}/4
δ={(α+β+γ+δ)-(α+β-γ-δ)-(α-β+γ-δ)+(α-β-γ+δ)}/4

9 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
(α+β-γ-δ)^2=α^2+β^2+γ^2+δ^2+2αβ-2αγ-2αδ-2βγ-2βδ+2γδ
(α-β+γ-δ)^2=α^2+β^2+γ^2+δ^2-2αβ+2αγ-2αδ-2βγ+2βδ-2γδ
(α-β-γ+δ)^2=α^2+β^2+γ^2+δ^2-2αβ-2αγ+2αδ+2βγ-2βδ-2γδ
(α+β-γ-δ)^2+(α-β+γ-δ)^2+(α-β-γ+δ)^2=3(α^2+β^2+γ^2+δ^2)-2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)
=3(α+β+γ+δ)^2-8(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)

(α+β-γ-δ)(α-β+γ-δ)=α^2-β^2-γ^2+δ^2+2(βγ-αδ)
(α+β-γ-δ)^2(α-β+γ-δ)^2
=α^4+β^4+γ^4+δ^4-2α^2β^2-2α^2γ^2+2α^2δ^2+2β^2γ^2-2β^2δ^2-2γ^2δ^2
+4(βγ-αδ)(α^2-β^2-γ^2+δ^2)+4(β^2γ^2+α^2δ^2-2αβγδ)
=α^4+β^4+γ^4+δ^4-2α^2β^2-2α^2γ^2+6α^2δ^2+6β^2γ^2-2β^2δ^2-2γ^2δ^2
-8αβγδ-4α^3δ-4αδ^3-4β^3γ-4βγ^3+4α^2βγ+4αβ^2δ+4αγ^2δ+4βγδ^2

(α+β-γ-δ)^2(α-β+γ-δ)^2+(α-β+γ-δ)^2(α-β-γ+δ)^2+(α-β-γ+δ)^2(α+β-γ-δ)^2
=3(α^4+β^4+γ^4+δ^4)+2(α^2β^2+α^2γ^2+α^2δ^2+β^2γ^2+β^2δ^2+γ^2δ^2)
-24αβγδ-4(α^3β+αβ^3+α^3γ+αγ^3+α^3δ+αδ^3+β^3γ+βγ^3+β^3δ+βδ^3+γ^3δ+γδ^3)
+4(α^2βγ+αβ^2γ+αβγ^2+β^2γδ+βγ^2δ+βγ^2δ+βγδ^2+γ^2δα+γ^2δα+γδ^2α+δ^2αβ+δα^2β+δαβ^2)

10 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
α^2βγ+αβ^2γ+αβγ^2+β^2γδ+βγ^2δ+βγ^2δ+βγδ^2+γ^2δα+γ^2δα+γδ^2α+δ^2αβ+δα^2β+δαβ^2
=(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)-4αβγδ
α^2β^2+α^2γ^2+α^2δ^2+β^2γ^2+β^2δ^2+γ^2δ^2
=(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2-2{(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)-4αβγδ}-6αβγδ
=(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2-2(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)+2αβγδ
α^3β+αβ^3+α^3γ+αγ^3+α^3δ+αδ^3+β^3γ+βγ^3+β^3δ+βδ^3+γ^3δ+γδ^3
={(α+β+γ+δ)^2-2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)}(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)-{(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)-4αβγ}
α^4+β^4+γ^4+δ^4
={(α+β+γ+δ)^2-2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)}^2-2{(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2-2(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)+2αβγδ}
=(α+β+γ+δ)^4-4(α+β+γ+δ)^2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)+2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2+4(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)-4αβγδ

11 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
α^3β+αβ^3+α^3γ+αγ^3+α^3δ+αδ^3+β^3γ+βγ^3+β^3δ+βδ^3+γ^3δ+γδ^3
={(α+β+γ+δ)^2-2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)}(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)-{(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)-4αβγ}
=(α+β+γ+δ)^2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)-2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2-(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)+4αβγ

(α+β-γ-δ)^2(α-β+γ-δ)^2+(α-β+γ-δ)^2(α-β-γ+δ)^2+(α-β-γ+δ)^2(α+β-γ-δ)^2
=3{(α+β+γ+δ)^4-4(α+β+γ+δ)^2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)+2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2+4(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)-4αβγδ}
+2{(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2-2(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)+2αβγδ}
-24αβγδ
-4{(α+β+γ+δ)^2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)-2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2-(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)+4αβγ}
+4{(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2-2(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)+2αβγδ}
=3(α+β+γ+δ)^4-16(α+β+γ+δ)^2(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)+16(α+β+γ+δ)(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)
+16(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)^2-64αβγδ

12 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
(α+β-γ-δ)(α-β+γ-δ)(α-β-γ+δ)
=α^3+β^3+γ^3+δ^3
-(α^2β+αβ^2+α^2γ+αγ^2+α^2δ+αδ^2+β^2γ+βγ^2+β^2δ+βδ^2+γ^2δ+γδ^2)
+2(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)
=(α+β+γ+δ)^3
-4(α^2β+αβ^2+α^2γ+αγ^2+α^2δ+αδ^2+β^2γ+βγ^2+β^2δ+βδ^2+γ^2δ+γδ^2)
-4(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)
=(α+β+γ+δ)^3-4{(α+β+γ+δ)(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)-3(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)}
-4(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)
=(α+β+γ+δ)^3-4(α+β+γ+δ)(αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ)+8(αβγ+βγδ+γδα+δαβ)

13 :132人目の素数さん:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
s1=α+β+γ+δ
s2=αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ
s3=αβγ+βγδ+γδα+δαβ
s4=αβγδ

A=αβ+γδ
B=αγ+βδ
C=αδ+βγ
A+B+C=s2
AB+BC+CA=s1s3-4s4
ABC=s1^2*s4-4s2s4+s3^2

A`=(α+β)(γ+δ)=s2-A
B`=(α+γ)(β+δ)=s2-B
C`=(α+δ)(β+γ)=s2-C
A`+B`+C`=2s2
A`B`+B`C`+C`A`=s1s3+s2^2-4s4
A`B`C`=s1^2*s4+s1s2s3-8s2s4+s3^2

D=α+β-γ-δ
E=α-β+γ-δ
F=α-β-γ+δ
D^2=s1^2-4A`
E^2=s1^2-4B`
F^2=s1^2-4C`
D^2+E^2+F^2=3s1^2-8s2
(DE)^2+(EF)^2+(FD)^2=3s1^4-16s1^2*s2+16s1s3+16s2^2-64s4
DEF=s1^3-4s1s2+8s3

14 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ=0
{i,(12),(23),(13),(123),(132)}
(α+ωβ+ω^2γ)^3
(α+ω^2β+ωγ)^3
{i,(123),(132)}
α
β
γ
{i}

15 :132人目の素数さん:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
A`B`C`=-s1^2*s4+s1s2s3-s3^2

16 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
第3章 群の具体例

有限群のみをしばらく扱う。

3-0
単位元のみから群がまずある。
{1}(積)
{0}(和)
とかが割りと、具体的な記述である。

3-1
いきなり、若干の抽象を行うが、
要素の個数が素数個の群が次にある。
「ガロアはここに足を留めるのはあまり益のない事だと言っている。
この群は言ってみれば、ガウスが発見した様な物だが、
ガウス氏の得た物を名指しでそう言っている。」
しかし、益はある。なるべく単純な物にはできる限り親しくしてべきだ。事に数学では。
むしろ、できる限り単純な事を積み上げて行った方が益が多いのが数学だ。

具体的には
{0,1}(位数2)。

17 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
できる限り単純な事」はこの場合、巡回群を指す。
ガウスの発見したと言うのは「余りの数学」modの世界を指している。
この世界は奥行きも領土も深くそして広い。代数の母体は整数論にあり、この世界の話だ。
入り口は小難しく考える必要はない。よく例として出てくる「時計の算法」がこれに当る。
12時は12時なのだが1時から後ろをみればいつだって0時なのである。
そういう話だ。

位数12の巡回群を今後、C12と記述する。

18 :福地 裕:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
{0,1}(位数2)
は和に関する群で、1+1=0と(mod2)決めてさえおけば、後は通常の和の話になる。
全ての群は言ってみれば、巡回群の組み合わせで、ここで書いて行きたいのは
有限の範囲におけるこの組み合わせの煩雑な様子を下(合成数4から始まる)から
具体的に記述して行きたいだけである。

全ての自然数n対して、位数nのCnが存在する。
そして、全ての素数p関してはCpしか存在しない。
またいかなる有限群のいかなる構成要素xをもってきても

19 :132人目の素数さん:2013/07/20(土) NY:AN:NY.AN
、この要素一つで巡回群が一つ構成できる。

20 :132人目の素数さん:2013/07/24(水) NY:AN:NY.AN
多項式の根の公式が存在する⇔多項式のガロア群が可解である

        ∧∧  ミ _ ドスッ
        (   ,,)┌─┴┴─┐
       /   つ.  終  了 │
     〜′ /´ └─┬┬─┘
      ∪ ∪      ││ _ε3
               ゛゛'゛'゛

21 :132人目の素数さん:2014/01/19(日) 15:18:29.58
共役表現

22 :132人目の素数さん:2014/01/19(日) 20:16:05.68
運営乙

23 :132人目の素数さん:2014/01/20(月) 20:28:31.90
リー群計算が大変

24 :132人目の素数さん:2014/01/31(金) 17:42:10.89
流れをきってすいませn。

中1、2くらいまでで理解できる群の例ってありますか?
単純な積や和ではなく、
a◎b=a*b+a+bなどのように定義した場合です。

もちろん上の例は結合法則からして満たさないので駄目ですが、
なかなかよい例が見つかりません。

25 :132人目の素数さん:2014/01/31(金) 20:02:22.09
>>24
高校生にもわかる群論はいろいろ本が出ているようだが読んでみた?
ここで聞いてみたら
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1385227578/

26 :132人目の素数さん:2014/02/02(日) 14:10:50.99
>>24
簡単な群ね。
表と裏両面に書かれたチラシ(以下表と裏は区別し、チラシと略して書く)の状態を考える。
表のチラシの状態、裏のチラシの状態、チラシのそのままの状態、からなる集まり(集合)をGとする。
つまり、G={表のチラシの状態、裏のチラシの状態、チラシのそのままの状態}、とする。
G×GからGへの二項演算fを、Gの2つの元を任意に選んだとき、或るGの状態に合うように、チラシをめくる操作とする。
例えば、(表のチラシの状態)f(表のチラシの状態)は、チラシの状態について「表」が2回書かれているから、
それに合うようなチラシをめくる操作は、表のチラシを2回めくって最終的に表のチラシの状態にすることにあたる。
つまり、(表のチラシの状態)f(表のチラシの状態)=表のチラシの状態。
同様に考えて、(裏のチラシの状態)f(裏のチラシの状態)=裏のチラシの状態。
一方、、(表のチラシの状態)f(裏のチラシの状態)は、チラシの状態について「表」と「裏」が1回ずつ書かれているから、
それに合うようなチラシをめくる操作は、表でも裏でもどちらの状態でもいいから自由に1つ選んで
チラシを2回めくって最終的に元のチラシの状態にすることにあたる。
つまり、(表のチラシの状態)f(裏のチラシの状態)=元のチラシの状態=チラシのそのままの状態。
同様に考えて、(裏のチラシの状態)f(表のチラシの状態)=チラシのそのままの状態。
以上のように、集合Gを定め、チラシをめくるという二項演算fを考えると、Gはチラシをめくる操作について有限群或いは回転群という群となる。
このときの、Gの単位元はチラシのそのままの状態。
そして、表(裏)のチラシの状態の逆元は裏(表)のチラシの状態。チラシのそのままの状態の逆元はチラシのそのままの状態。
このように、チラシをめくる操作の中にも二項演算はあり、群は隠れている(これで分かるだろうか)。

27 :132人目の素数さん:2014/02/02(日) 15:42:24.65
正方形の対称性でもよさそうな気がするが

28 :132人目の素数さん:2014/02/10(月) 12:25:14.90
構想
2は徹底的に具体例だけを書く予定だった。
3はガロアに見えた群を書きたかった。特に生き生きとした群論を書きたかった。
現代的に見えるガロア理論はいくらでも本がある。
今、3を先に考えているが、書くのは3年先とか5年先か、書かないかもしれない。

29 :132人目の素数さん:2014/02/16(日) 10:20:26.29
こんにちは、
256列256行のγ行列で、反交換関係を満たす16個の組み合わせを出来るだけ、沢山求めたいです。
下記HPのmathematicaプログラムは、添付PDF(群と物理 佐藤光先生著)のP181からP186までの抜粋資料を元に作成しました。
P182の式(6.83)はγ行列を求める式、P181の式(6.72)は反交換関係の条件式です。これらをmathematicaで、計算していますが、式(6.72)を満たしません。mathematicaプログラムのどこに問題があるでしょうか?修正すべき点を教えて下さい。


http://www.geocities.jp/dirac_equation/index9.htm

30 :132人目の素数さん:2014/03/25(火) 11:44:27.26
ひま

31 :132人目の素数さん:2014/03/27(木) 12:45:43.12
なんちゃって名無し乙

32 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 16:31:14.75
保守

33 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 16:36:32.15
保守

34 :132人目の素数さん:2014/05/22(木) 00:25:31.14
>>29
卒論?

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