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集合論について

1 :132人目の素数さん:2013/11/18(月) 04:05:17.08
いくらなんでも数学板に集合論全般を扱うスレがないのはおかしいだろ

2 :132人目の素数さん:2013/11/18(月) 06:54:37.67
数学で集合は扱われるけど集合論そのものは数学的対象じゃないよ
情報系で研究されている
どうしてもというなら
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320576310
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440
などでどうぞ

3 :132人目の素数さん:2013/11/18(月) 11:13:33.54
>>1
関連すれ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/

あれそう、わくわく

4 :132人目の素数さん:2013/11/21(木) 09:33:47.52
 

5 :132人目の素数さん:2013/11/21(木) 09:59:49.37
集合論そのものが研究対象だった時代は
100年くらい前に終わったでしょ。
今では、教科書を読めば完了。

6 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/21(木) 10:05:48.83
馬鹿板そのものが遊び場だった時期は
昨年くらいの頃に終わったでしょ。
今では、菌愚を無視して終了。

ケケケ狸

7 :132人目の素数さん:2013/11/24(日) 12:22:00.84
 

8 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/24(日) 12:42:13.31


9 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/24(日) 15:59:06.11


10 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/24(日) 17:03:13.78


11 :132人目の素数さん:2013/11/24(日) 18:58:23.08
狸さんってひょっとしてB型?

12 :132人目の素数さん:2013/11/24(日) 19:03:48.90
集合論って、情報系>哲学系>数学系の順に人気があるイメージ

13 :132人目の素数さん:2013/11/25(月) 21:31:13.84
目新しく感じてしまう人
だけが関心を持つからね。

14 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/26(火) 06:55:16.75


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15 :Let's Fight!:2013/11/26(火) 08:38:15.65
無意味な人工物を勝手に問題設定して勝手に解く
これが基礎論の現状
そして自称解析学では重要な役割を果たすというが
どうでもいい命題ばかりでしか貢献できていない
本質的にゴミなのである

16 :132人目の素数さん:2013/11/26(火) 08:46:24.54
>>1
数学者にとってできれば触れたくない分野だからなw

17 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/26(火) 09:35:32.01
なるほど。



18 :132人目の素数さん:2013/11/26(火) 12:25:13.73
>無意味な人工物を勝手に問題設定して勝手に解く
これ、基礎論だけの現状ではないだろw

19 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/26(火) 12:36:43.15
例えば意味があるかどうかも判らないのに、とにかく計算機を使って得ら
れた出力を、『重要な結果だ』と強弁するとか。



20 :132人目の素数さん:2013/11/26(火) 21:59:55.20
勝手な想像だけど、手法が限られている分ものすごくテクニカルで難しい議論を繰り広げてるイメージ

21 :132人目の素数さん:2013/11/26(火) 23:46:49.39
コンピュータに定理生成をさせると馬鹿人間でもこいつらよりはマシと思える。

22 :132人目の素数さん:2013/11/27(水) 03:00:36.47
この分野に"重要な(あるいは魅力的な)未解決問題"ってあるんですかね
誰か詳しい人

23 :Let's Fight!:2013/11/27(水) 06:09:01.44
ほとんど無数に未解決問題が創造できる
なにしろ無限公理を追加し放題だからw
そして公理をさまざまにいじって
強制法やランダムの定義を少しづつ変えてってのはすでに行われている!

24 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/27(水) 14:25:21.16


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25 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 01:25:05.45
へー

26 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 01:38:22.14
竹内薫のゲーデルの不完全性定理は
結構わかりやすい。
書評がボロクソに書かれてるけどそんに悪いかな?

27 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 01:54:04.39
わかりやすいのと
でたらめ書いて馬鹿にわかった気にさせるのは全然別の事だからな

28 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 06:47:09.10
ふーん

29 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/28(木) 07:04:48.59


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30 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/28(木) 09:31:17.18


31 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 10:35:29.26
集合論とは実数について考えるための道具だったのですね
哲学の方から集合論に興味持ったために長いこと勘違いしてました

32 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 19:45:11.39
>>30
元気ですか?

33 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/28(木) 20:17:11.81
I have a burning smell.

--tanuki--

34 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 20:20:00.33
竹内薫の本バカにされてるけど
そもそも不完全性定理って数学の定理じゃないからw
>>31
数学者の使う実数とは違うよ
やるだけ無駄 役に立たない

35 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 20:27:25.03
>そもそも不完全性定理って数学の定理じゃないからw
だからなんやねん

36 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/28(木) 20:28:12.90
>>32
はい、毎日元気に馬鹿板潰しに精を出してますぅ〜

ケケケ狸

37 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 20:43:47.16
算術の定理と言いたいんだろうか

38 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/28(木) 20:55:24.63
運営の失敗と言いたいんだろうか

ケケケ狸

39 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 22:10:37.34
ZFCってでかすぎるんだよね
成り立つかどうか胡散臭い定理が結構ある
全体的にあまりに空想的な命題が多すぎて設定次第でどうにでもできてしまうからね
そこが人工的な感じがして今一本気でやればい部分がある

40 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 23:25:10.92
>>36
それはよかった、これからも元気に生きてください

41 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/29(金) 08:18:55.54
>>40
なので今日もこれから作業を開始します。



42 :132人目の素数さん:2013/11/29(金) 20:56:22.16
>>12
> 集合論って、情報系>哲学系>数学系の順に人気があるイメージ

こういう事を書く人って集合論も情報系も全然知らないって自白しているも同然ですね。
情報系にとって興味があるのは基本的に計算可能な対象ですから集合でも高々可算無限濃度まで。
連続体濃度以上の一般の集合は情報系にとって関心はありません。
従って、連続体の濃度がどうだとか巨大基数とかが関心の中心になっている現代の集合論は
情報系の関心の範囲外ですし情報系での応用もありません。
同様に、超準解析を始めとして一般の無限集合を用いるモデル論も情報系にとってはほぼ無縁です。
情報系で関心の高い「モデル論」と言えば有限モデル論(finite model theory)です。

集合論と同様に基礎論系統の分野でも証明論、特にGentzen流の還元的証明論なんかは確かに情報系で
関心のある人も多い(といっても、そもそも理論計算機科学屋そのものが情報系では極めて少数派)ですが。

情報系つまり理論計算機科学屋にとって通常の公理的集合論や一般のモデル論なんて関心ありませんよ。
せいぜい情報系のポストにもぐりこんでいる基礎論屋さんだけです、そんな巨大なサイズの枠組みに興味を持つのは。

43 :132人目の素数さん:2013/11/29(金) 22:29:25.02
>>39
ZFよりはるかに弱い集合論もあるし、それなりに研究もされてるよ

たとえば新井敏康「数学基礎論」にはKripke-Platek集合論の
証明論的分析が載ってる。
同じ本の集合論の章に載ってる「BST」も弱い集合論の一つ。

44 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 03:05:01.88
うお!補足されてる(>>42)、ありがたいですね
実際俺は"集合論も情報系も全然知"らんわ

けど、集合論を勉強しようとした時に内容が最もよく整理されてて
役に立ったのは"情報"分野の本棚ですね
次に哲学。"この公理を採用する正当性は何か?"みたいな
テーマが議論されてて深さという点ではダントツだった
数学の本棚が一番しょぼかった
素人目からは。

45 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 03:14:41.90
↑"しょぼい"は悪い表現だった
内容は豊かでした

なんていうか、公理を定めてどんどん演繹してくんだけど、
公理を疑ったりみたいな話題にはノータッチだった
俺はそこに一番興味があったんだけど

46 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 06:55:35.64
ほんとに素人目だな
ここに無料テキストが山ほどあるから勉強しなすこと
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&page=past&handle=euclid.pl

47 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 08:11:14.00
集合は集合か?

48 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 08:49:07.78
同語反復じゃねえか。
何を言いたいのか、
整理してみな。

49 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 09:16:31.95
公理を疑うというのはナンセンス。
数学は公理を定めてどんどん演繹してくことにより、なにが導かれるかを明確に示してくれる。
それが目的にあわないなら別の公理を用いればよい。
それがいい加減な思考ではなくて論理的に演繹により示されるのに、なにが不満なんだか。
選択公理のない集合論、無限公理のない集合論、基礎の公理のない集合論(や、これらの否定を公理に持つ集合論)などなど、研究されていて面白い結果も導かれている。

50 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 11:53:19.60
>>46
いきなりそのシリーズは無理や

案外キュネンの和訳に載ってる数学の哲学的な部分が良いかも

51 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 13:10:05.34
集合論とか意味不だわ
後期も単位落としそうでつらい

52 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 17:20:38.34
単位とか言ってる時点でだめだ
死んだほうがいいよ

53 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 19:16:04.59
>>46
助かります!
便利な情報はもっと目立って存在してくれればいいのにと思う

54 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 19:32:58.91
>>49
数学の体系を「この公理を採用したらこれが演繹できる」っていうペアの平等な寄せ集め
と見るならばそうかもしれないけれども、
現実の"数"の性質をどれだけ忠実に表現しているかっていう視点で
公理系を見ることには意味があると思うんです

55 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 19:35:46.55
そういうことは「公理を定めてどんどん演繹して」いかないとわからないよ
もちろん、現実の"数"の性質について知るためには、現実の数学について知らなければならないし

56 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 20:03:26.49
>>53
基礎論は無料でテキストが公開されている場合が多いから
洋書なんかは購入前に調べたほうがいいよ

57 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 20:05:23.45
http://klapaucius.web.fc2.com/logic/online-textbooks.html

こういうサイトって他にもあるんですか?

58 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 20:32:09.82
基礎論やるんだったら以下のページはおさえとくべき

集合論の公理詳細
http://us.metamath.org/index.html

論理体系のリスト
http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/index.html

計算量クラスのリストとその図
https://www.math.ucdavis.edu/~greg/zoology/relations.html
https://www.math.ucdavis.edu/~greg/zoology/diagram.xml

逆数学とかの小型の数学体系とか
http://rmzoo.uconn.edu/diagrams.html

59 :132人目の素数さん:2013/11/30(土) 21:17:47.76
>>58さん
ありがとうございますm(_ _)m

60 :132人目の素数さん:2013/12/05(木) 00:19:36.84
色んな集合論があるもんだなと
http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/settheory-alternative/

61 :132人目の素数さん:2013/12/08(日) 00:10:18.08
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1339779645/

62 :132人目の素数さん:2013/12/16(月) 21:15:09.09
Complexity Zoo とか、種類が多すぎてとても追っかけきれそうもない
どういう態度で臨めばいいんだろう…?

63 :132人目の素数さん:2013/12/27(金) 05:54:12.77
a?aa?aaaaaaaaa

64 :132人目の素数さん:2013/12/28(土) 11:03:16.00
>>62
文字通り動物図鑑とか昆虫図鑑を見るような態度ではないですか?
動物や昆虫と違うのは、いくらでも人工的に新種を作り出せることですが。

65 :裁判負一声会さくら接骨院親分歌代英二:2013/12/28(土) 12:52:09.17
qaz

66 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 06:40:16.83
素人なんだけど純粋な疑問がある
空集合って「任意の集合の部分集合」なんだろ?
それで居て空集合は「内部に何も含まない」だろ?
?∋?なのか? ???なの?
どっちなのか分からない

67 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 06:46:52.30
空集合は空集合を「含む」のか「含まない」のか

68 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 06:53:32.25
空集合は元を含まないので、空集合が空集合の部分集合であっても矛盾しない。

69 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 06:57:37.64
|A|=|B|=0 のとき、A=B だから、A⊆B、B⊆A はどちらも真

70 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 15:20:39.47
>>66 集合をビニール袋だと思え。
空集合は何も中身が入っていないビニール袋だ。

x∈A はAという集合にxが含まれている。
A⊂B は集合Bが集合Aを覆う。(含む含まないという言葉を使わない方が理解しやすい)
BがAを覆うというのは、Bの袋から要素を取り除くという操作をしたかもしくは何も操作しないときに
Aにできるということ。

空集合は空集合を覆う。(φ⊂φ)
これは、何もないビニール袋に何も操作しなければなにもないビニール袋のままであるということ。

71 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 16:23:23.73
>>68-70
ここまで丁寧に答えていただけるとは
脳みそのムズムズが取れてスッキリしました

72 :132人目の素数さん:2014/01/30(木) 10:57:19.45
初コメです。
集合論・数理論理学ガチでやりたいんですけど,不完全性定理終えた今からどの分野やったらいいんですかね?
キューネンの独立性証明の集合論にも興味ありますし,様相論理にも興味あるし,・・・
山本新の「数学基礎論」は最後までやったほうがいいのかな

73 :132人目の素数さん:2014/01/30(木) 19:05:06.45
自分の好きな分野をやればいいんじゃないの

74 :132人目の素数さん:2014/01/30(木) 21:58:43.73
やりたい分野を片っ端からやるしかないでしょ

75 :132人目の素数さん:2014/01/30(木) 23:25:46.85
自分がやりたいと思うものをやれば善し
それを人に聞くのはナンセンス

76 :132人目の素数さん:2014/01/31(金) 01:50:36.01
了解
今一番興味あるのは,「巨大基数の集合論」ですけど,結構なハイレベルな気がします。
前提知識はどの位いるのかな?

77 :132人目の素数さん:2014/01/31(金) 03:18:57.97
最低ラインは田中の公理的集合論をソラで再現できること

78 :132人目の素数さん:2014/01/31(金) 16:20:35.11
とある場所で
「対角線論法は間違ってる!
 なぜなら実数は無限小数ではないからだ
 無限小数は全ての桁が確定しないから数ではない
 自然数と実数は1対1対応”し続けられる”」
と吠えてるヤツがいるんだが

実数の完備性(コーシー列の収束)は否定してないらしいが
完備性から非可算性も導かれることが全然分かってない
どうにかならんかね?

79 :132人目の素数さん:2014/01/31(金) 16:26:50.41
害がないなら珍獣の生態観察をして楽しむのがよろし

80 :132人目の素数さん:2014/01/31(金) 19:31:49.39
>>76
二回の反復強制法と多少のモデル理論が分かってれば良い

KunenじゃなくてJechで勉強した、というパターン以外は
キューネンより先にその本読むのはほぼ無理だと思うよ

81 :132人目の素数さん:2014/02/01(土) 00:01:01.59
0.999・・・≠1 のやつだろ

82 :132人目の素数さん:2014/02/01(土) 00:15:08.43
>>78
クロネッカー?

83 :132人目の素数さん:2014/02/01(土) 00:45:47.75
直観主義の解析学でしょ

84 :132人目の素数さん:2014/02/01(土) 01:15:55.15
>>77,80
あざっす


それにしても,公理的集合論,数理論理学を自主勉強でやってきた物だから,
自分がどの程度出来ているor出来ていないのかがわからない

85 :132人目の素数さん:2014/02/01(土) 18:03:01.22
自主勉強の教材の命題を自力で証明できたらその教材は修了
でいいんじゃない?

86 :132人目の素数さん:2014/02/04(火) 16:49:16.95
>>78
非主流だけど、何人も指摘しているがそういう考えもあるからどうしようもないw

87 :132人目の素数さん:2014/02/04(火) 17:16:47.27
直観主義解析学でいうところの「実数」は通常の意味での実数とはまったく別物だから注意してね

88 :132人目の素数さん:2014/02/04(火) 20:45:56.80
√2やπが実数であることも認めないのかな?

89 :132人目の素数さん:2014/02/04(火) 21:50:50.40
直観主義なら認めるだろ

90 :132人目の素数さん:2014/02/05(水) 14:33:13.85
「πなどという数は存在しない」と言った数学者がいたとか

91 :132人目の素数さん:2014/02/05(水) 22:06:12.48
クロネッカーの主張は直観主義というよりはもっと過激な有限主義に近い

92 :132人目の素数さん:2014/02/06(木) 00:30:44.88
自然数は存在するけど負の数や有理数は存在しない、というのは
ちょっと過激すぎるよねえ

まあ、体をなさずモノイドにしかならない自然数は軽視されがちだから
その点はありがたいけど

93 :132人目の素数さん:2014/02/08(土) 19:06:33.73
田中の公理的集合論をそらで復唱できるぐらいになるっていうのは修士レベル?
公理的集合論辺りでは,
どの程度出来て学部4年・修士・博士レベルっていうか知りたいんですけど・・・

94 :132人目の素数さん:2014/02/08(土) 19:13:02.30
1回述語論理の完全性定理の証明抑えて学部3年ぐらい,不完全性定理の証明まで
そらで言えるようになって学部4年or修士1年じゃないのかなぁって
個人的には思ってるんですが。
それと,公理的集合論を深くやる人は,数理論理学は
どの程度抑えておいたほうがいいのかも教えて欲しいです
自然数論の無矛盾性の証明は是非抑えておきたいと思いつつも
全然手を付けていないっていう事もあります・・

95 :132人目の素数さん:2014/02/08(土) 19:14:54.74
がんばれ

96 :132人目の素数さん:2014/02/08(土) 20:09:17.48
素早いレスちょっとワロタ
このスレ逐一見てる人いるんですな

97 :132人目の素数さん:2014/02/08(土) 21:06:53.43
>>94
証明は覚えるもんじゃないけどなw

あと「抑える」じゃなく「押さえる」な

98 :132人目の素数さん:2014/02/10(月) 02:00:20.42
急にレスがなくなりましたね

99 :132人目の素数さん:2014/02/15(土) 00:23:06.79
何か急にレスがなくなりましたね
2月8日まではあったのに

100 :132人目の素数さん:2014/02/16(日) 16:52:56.34
形式主義を意識しながら圏論を勉強していきたいのですけど,
BGの公理系を学んだ後に圏論やったら見方がどういう風に変わりますかね?
BGの集合論やBGとZFCの関係について学べる本・論文あれば教えてください。

101 :132人目の素数さん:2014/02/21(金) 01:23:04.67
おーい
誰か〜
コメントしてよぅ〜

102 :132人目の素数さん:2014/02/22(土) 09:10:34.22
BGの一般存在定理あたりかな。
変数は全て束縛、クラス束縛変数は含まない式Aならクラスとして存在。
系として、任意のZFCの式についてそれを充たすクラスの存在がBGで言える。
公理に関する簡単な議論でZFCで証明できるならBGで証明できる。
でも、ZFCに関するかぎり強さは同等。
BGが書いてある本ならほとんど書いているはず。

倉田令二朗、篠田寿一公理的集合論の初めの方など

圏論の見方がどう変わるかはわからない。
クラスに意識はすると思うが。

103 :132人目の素数さん:2014/02/22(土) 23:08:24.51
別に大して見方は変わらず、圏論を集合論的に定式化する方法の
一つを学べるだけだよ

104 :132人目の素数さん:2014/02/22(土) 23:48:42.15
>>102,103
あざっす 近いうちにBG集合論勉強します

105 :132人目の素数さん:2014/02/23(日) 14:48:40.14
クラスなんて大したもんじゃないよ

集合全体の集まりをSとすると
クラスというのは2^Sの要素
そのうちもとのSに対応するものを
除いたのが集合以外の固有クラス

クラスの要素は集合だから
クラスを要素とする集まりは
クラスですらない

106 :132人目の素数さん:2014/02/25(火) 23:27:59.31
明日の16時39分頃に気をつけて下さい。
日本にも世界にも巨大地震が起きませんように。
皆さんも一緒に祈って下さい。

太陽フレアのXが発生したそうです。
太陽黒点数の100越えが24日間継続しているようです。

107 :132人目の素数さん:2014/02/28(金) 02:35:59.16
セマンティクスを使わずに
3つの公理スキーマとMPだけを使って
命題論理式の証明を自動で導く
アルゴリズムの名前を教えてください

108 :132人目の素数さん:2014/02/28(金) 14:34:21.97
そんなのあるんだ
っていうか その質問スレ違いでは?

109 :132人目の素数さん:2014/02/28(金) 14:36:25.68
命題論理が完全であり決定可能であるという証明で使われている手法で定理を生み出していくアルゴリズムとはまた違うアルゴリズムなんですか?

110 :132人目の素数さん:2014/02/28(金) 15:41:52.96
ゲーデル数の小さい定理から順に自動生成するアルゴリズムとか?

111 :107:2014/02/28(金) 16:34:36.53
スレ違いスンマセン

論理学スレはどれも荒れていて
こちらのスレの雰囲気が良かったので

そういうようなアルゴリズムがあったら教えて
あるいは、関連する研究があったら教えて
という意図での質問でした

誰かしら研究はされてるはずと思っているのですがなかなか見つからない

ゲーデル数を使ったアルゴリズムは読んでいる教科書で軽くスケッチされているけど
細かい部分がよくわからないのでレシピがあったら読みたい

たぶん直接的に組むと指数関数的爆発だろうから
素人目には枝刈りのやり方とか研究のしがいがありそうな気が

112 :132人目の素数さん:2014/03/01(土) 01:39:26.64
>>110
"順に"っていうならゲーデル数で考えたくなりますけど,ゲーデル数は理屈上の概念であって
実用上あんな巨大な数はまず計算が間に合わないでしょうから っていうのが私の印象

113 :132人目の素数さん:2014/03/01(土) 01:51:08.20
変数記号を無限個 {x1、x2、x3、x4、……} 用意するんじゃなくて
{x'、x''、x'''、x''''、……} で代用してコード化すると有限文字(N文字)しか要らないから、
それぞれの文字を0〜N-1と対応させてそのまま読むと
m文字の論理式はN進法でm桁のゲーデル数を対応させられる。
つまり N^m くらいしか要らない。

スマリヤンの本にあるゲーデル数化の方法だけど
m文字以下の論理式はある定数c、kに対してc^(m/k)程度はあるから、
このコード化は割と良い線言ってると思うよ。

114 :132人目の素数さん:2014/03/01(土) 02:35:52.36
それって,mを固定した時の議論に過ぎない気がします

115 :132人目の素数さん:2014/03/05(水) 11:46:52.07
WangのアルゴリズムでLKの証明は作れるから
LKとヒルベルトスタイルの同等性の証明をじっと見つめれば

116 :107:2014/03/05(水) 20:56:52.52
Wang のほうの資料は見つかったけど
同等性のほうの参考文献みつけられません…

同等性はセマンティクスを経由せずに証明できますか?
Deduction Theorem や完全性定理を仮定せずに証明できそうですか?

3つの公理スキーマについては、どの3種類を選ぶかは固定しておりませんが
その手法はそれでも適用できそうですか?

117 :107:2014/03/07(金) 22:24:34.33
セマンティクスを経由しないでという意味が分かりづらかったので説明します

3つの公理スキーマ
(A1) B⇒(C⇒B)
(A2) (B⇒(C⇒D))⇒((B⇒C)⇒(B⇒D))
(A3) (¬C⇒¬B)⇒((¬C⇒B)⇒C)
とMPからなる公理系から出発すると、Deduction定理などを経由して完全系定理を示すことができて
この公理系はトートロジーの集合と一致することが示せます

一方、ルカシーヴィッツの公理系
(L1) (¬B⇒B)⇒B
(L2) B⇒(¬B⇒C)
(L3) (B⇒C)⇒((C⇒D)⇒(B⇒D))
も同等の性質を持つ公理系らしいので、完全性定理の証明ができるはずですが
導くのにヒラメキが必要そうで、自分では証明を構成できていません

自分の第一の動機は、ルカシーヴィッツの公理系を出発点にした
完全性定理の証明を見つけたいので、コンピュータを援用したいという動機です

そして、一般の公理系は、適当に3つの公理スキーマを指定して考えることができるので、
適当に3つの公理スキーマが与えられたときに、それが完全性定理を満足するかを
ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要だろう、というのが第2の動機です

よろしくお願いします

118 :132人目の素数さん:2014/03/07(金) 22:56:10.71
二つの体系S1、S2が同等であることを確かめるには

S1の公理がS2で証明できることと、S1の推論規則がS2の推論を(何回か)使ってできること
S1とS2を入れ替えて上と同じこと

を確かめればよい

119 :107:2014/03/07(金) 23:13:42.15
(A1)〜(A3) が定理であることが示せれば
それを使って完全性定理を示せ、
逆に完全性定理を示せるなら
(A1)〜(A3) が定理であることが示せるので、
>118 の条件と >117 の条件は同じ意味になると思います

その >118 での確かめるアルゴリズムがあったらいいのですが…

120 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 01:52:42.79
このスレはちょっと活発そうなので,ここで聞いてみたいんですけど,
公理的集合論・数理論理学・証明論・モデル理論と 代数・幾何・解析を扱う方の数学をまたぐ分野ってありますか?
そういう分野,研究にかなり興味あるんですけど。
数学基礎論の理論を代数・幾何・解析の土俵で扱うことが出来るような研究にも興味あります(逆も勿論興味あります)

何で現在,こんなにも「情報数理と純粋数学」って住み分けが進んでいるんだろうなっていう気分です。

121 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 02:07:45.99
超準解析はモデル理論の応用

122 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 02:15:11.17
その言葉聴いた事ある・・・でも知らない・
特殊な微積分を構築するんですか・・

123 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 07:21:46.89
ここに行ってくるんだ
http://www.math.wisc.edu/~keisler/

124 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 11:38:23.17
http://library.msri.org/books/Book39/contents.html
MSRI Publications -- Volume 39

Model Theory, Algebra, and Geometry

Edited by Deirdre Haskell, Anand Pillay, and Charles Steinhorn

125 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 12:40:57.03
>>123,124
詳しい方々どうもです

126 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 12:48:38.78
MSRIって凄いですな 日本で言えば,京大のリポジトリで過去のRIMS研究集会の講演内容を公開してる感じなのかな

127 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 16:26:39.54
>>107>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
>>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。

なんで命題論理の公理図式は一般に3つだと思うようになったのか知らないけど
その体系の公理図式が3つであるのは偶然で、大した意味は無いよ
メレディスの図式みたいに一個からトートロジーを全て導き出せるようなものもある

ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。

>ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。

128 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 17:49:04.92
>>117
>ルカシーヴィッツの公理系も同等の性質を持つ公理系らしい

違うと思う
117の公理系では重複する前提を1つにまとめられないと思う

129 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 17:55:32.28
>>128のつづき

例えば(L1)〜(L3)で
(A⇒(A⇒B))⇒(A⇒B)
を証明できる?

130 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 20:22:17.65
>>128-129

129 の命題式は恒真なので、(L1)〜(L3) から証明できると思ってました

自分のネタ元は
Elliott Mendelson 『Introduction to Mathematical Logic, 5th ed.』

Exercise 1.58

"Prove that a wf B of L is provable in L if and only if B is a tautology."
とあります

131 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 20:35:07.14
>>127
>>107>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
>>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
> 2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。

とすると、>115 のアルゴリズムはまだ自分では把握できていないのですが、
上記のような考え方でのアルゴリズムになるんですかね?

> ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
> ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。

確かに目の前のエクササイズの解答を得るにはそれが良さそうですが、それでも
別の n個の公理図式を与えた場合はどうか、また別の…、というふうに
いくらでも問うことができて、そのたびに解くためにヒラメキが必要とされるのであれば
一般的に解けたといいにくいなあと思うので

>>ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
> そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。

まだ誰も研究テーマにしたことないでしょうか?

132 :132人目の素数さん:2014/03/09(日) 00:00:03.36
かなり踏み込んだ話題でもレスしてくださる方がいらっしゃるようですが,
じゃあ,私も山本新先生の数学基礎論についても埋めれなかった行間が沢山あるんですが・・・

133 :132人目の素数さん:2014/03/09(日) 01:06:27.21
別に有名というわけでもない本の題名を挙げられても…

134 :132人目の素数さん:2014/03/09(日) 03:20:02.50
あぁ・・有名じゃないのか・・・
中身は結構いいんですけどね・・・

135 :132人目の素数さん:2014/03/09(日) 19:58:11.72
質問の仕方次第

136 :132人目の素数さん:2014/04/01(火) 02:12:29.10
無限公理として ∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→x∪{x}∈y)) を採用した場合、
∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→{x}∈y)) は証明できますか?

137 :132人目の素数さん:2014/04/01(火) 02:39:15.45
置換公理があれば可能、なければ
ZC(ZFC - 置換公理 + 分出公理)では不可能

138 :132人目の素数さん:2014/04/01(火) 03:18:46.38
そうですか、安心しました
ありがとうございます

139 :132人目の素数さん:2014/04/01(火) 15:00:34.74
可能である事を主張するのは,証明図を見つけたらいいだけいい一方,,
不可能である事を主張するのって大分困難だと思ってるんですが,
それをささっとレスして凄いですね。

140 :132人目の素数さん:2014/04/01(火) 15:04:00.48
質問文を読んでから問題を検討したわけでもあるまいに
ささっとレスすることの何が凄いのだろうか

141 :132人目の素数さん:2014/04/01(火) 21:12:47.16
最近公理的集合論の勉強を始めたばかりなのですが、
整列可能性と可算性の関係はどういう関係なのでしょうか?同じに見えるのですが。
また、選択公理の独立性は話題になるのに、置換公理や無限公理など他の公理の
独立性が話題になることが余りないのは何故なのでしょうか?

142 :132人目の素数さん:2014/04/01(火) 23:10:36.51
割と有名な教科書にそのまま載ってます。
片方が成り立ってもう片方が成り立たないモデルを作れば良い。

>>141
可算⇒整列可能は成り立つけど
整列可能⇒可算は成り立たない。
実際、ちょっと厳密じゃない言い方になるけど
可算な整列順序の順序型の全体は整列可能だけど
ω=aleph_0の次の基数になる。

置換公理や無限公理の独立性は選択公理より遥かに簡単に示せます。
これも丁寧に書いた教科書なら大抵載ってます。

143 :132人目の素数さん:2014/04/02(水) 02:06:44.02
ZFCの各公理の独立性の証明では,ACの独立性の証明が一番難しいんですか?

144 :132人目の素数さん:2014/04/02(水) 20:15:28.26
>>142
ありがとうございます。
可算でないのに整列可能ということがあり得るということですが、どうもよく
わかりません。非可算な集合を整列するとき、最初の可算部分を整列させた後、
残りの非可算の部分をどうやって整列させるのでしょうか?

ところで、無矛盾性や独立性を示すには、モデルの存在によって示すしか他に方法は
方法はないのでしょうか?モデルを持ち出さずに直接?示すことはできないのでしょうか?
また、モデルが矛盾するということはないのでしょうか?

145 :132人目の素数さん:2014/04/02(水) 21:44:12.03
>>144
松坂の「集合・位相入門」の整列可能定理見ればいいと思う

146 :132人目の素数さん:2014/04/02(水) 22:58:02.79
144は任意の非可算集合を整列させることを問題にしているけど
142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。

無矛盾性について言えば、
証明を形式的に分析して0=1に至る証明が存在しないことを
何らかの方法で示すという証明論的方法もあるにはある。
正直あまり実用的な感じではないけど。

あとは教科書読んで勉強して下さい

147 :132人目の素数さん:2014/04/03(木) 15:40:43.86
>142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
>後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。
実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される

148 :132人目の素数さん:2014/04/03(木) 18:28:01.78
>>147
> 実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される



149 :132人目の素数さん:2014/04/03(木) 18:48:18.89
整列の定義も知らんみたいね

150 :132人目の素数さん:2014/04/03(木) 21:29:54.80
まあ取り敢えずは教科書で整列順序の定義を確認しよう

151 :132人目の素数さん:2014/04/04(金) 20:31:23.75
>>148
そうか、0以上の実数の集合、としても駄目ですね。
じゃあ、非可算な整列集合ってどういうものだろう?
整列って変な性質ですね

152 :132人目の素数さん:2014/04/04(金) 20:47:11.41
変に見えるから選択公理にいちゃもんつける人がまだまだいるんだろう

153 :132人目の素数さん:2014/04/04(金) 22:53:16.63
選択公理はどこが変なのでしょうか?無限公理が変だと思わないように
選択公理も全然変だと思わないですけどね。
整列の方は、可算でもなく単なる全順序でもないという、なんだか変な
感じがするけど。

154 :132人目の素数さん:2014/04/04(金) 23:39:15.03
147みたく教科書も読んでない人みたいなレスだな

155 :132人目の素数さん:2014/04/04(金) 23:49:09.46
整列可能定理よりもZornの補題の方が遥かに「成り立ってそうな感じ」がする

156 :132人目の素数さん:2014/04/05(土) 02:25:50.34
選択公理 ⇔ 整列可能定理 ⇔ ツォルンの補題

157 :132人目の素数さん:2014/04/05(土) 03:07:01.43
>>153
選択公理の帰結や、選択公理と同値な命題を色々眺めてれば何か悟るんじゃね?

158 :132人目の素数さん:2014/04/05(土) 04:44:42.62
選択公理が変だと思う奴はあまりいないだろ
選択公理から出る結果が変だと思うから選択公理も疑われるだけ
有名なのはバナッハ・タルスキーの定理だな

159 :132人目の素数さん:2014/04/05(土) 08:26:10.40
濃度をまともに扱いたければ結局選択公理に頼るしかなくなるから大抵は悟ることになる。

160 :132人目の素数さん:2014/04/05(土) 12:48:31.25
>>151
たしかに変なことが起きるのは非可算な整列集合のときだけかもしれん
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな

161 :132人目の素数さん:2014/04/05(土) 13:38:50.39
選択公理そのものは認めずに、可算選択や従属選択に制限してADつけ加えるとかもあるけど、実数を扱うならちゃんとした選択公理が欲しい。
たとえばRを、差が有理数な時同値という同値関係〜で類別した時に、従属選択ぐらいではR/〜の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう。

162 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 00:35:26.00
>R/〜の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう
それはバナッハ・タルスキーの定理よりもよっぽど気持ち悪いですね

163 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 00:40:03.52
ここはお前の日記帳だ

164 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 00:41:49.70
え、何か気に障ることを書いてしまいましたか

165 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 00:57:32.19
集合論が終わったのは全部ラッセルのせいらしいな

166 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 02:09:43.26
虚数集合の行列演算は可能でしょうか?

167 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 02:11:01.99
私は掛け算ができません

168 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 10:36:34.63
ラッセルが、1足づつある靴下(左右の区別がつかない)の集合から片方を
一つづつ選んだ選択集合は作れないだろうという主旨のことを言っているが、
なんでつくれないんだっけ?

169 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 11:08:33.83
写像というのは定義域のすべての要素に対してそれぞれ値がただひとつ決まらなければならない。重要なのは順に決めるんじゃなく、一気に全部決まる必要があること。写像は集合の一種。
脚が有限組なら、もちろん具体的に指示して前から順に靴下を選べばよい。終われば一気に決めたのと実質同じだから。しかし、無限組ある場合、このような具体的な指示ではいつまでも対応づけは終わらない。一気に決めた状態に辿り着くことはない。
無限にあっても前の組までの対応から次の組の対応が決まるならそれは具体的な指示だから値は決められるかもしれない。可算選択や従属選択が比較的嫌われないのはそのあたりにあるわけで、その意味で靴下のたとえはあまり適切ではないかも。
また、靴なら右を選ぶという具体的な指示ですべて一気に選べるだろう。
しかし、たとえば無限組の脚がぐちゃぐちゃな配置で前から並んでいない虫で、ペアとなる脚の組から靴下をひとつずつ選ぶ時、適当な指示を与える有効な手段は無いかもしれない。となると、一気に決まると断言することはできない。
選択公理はそれができると断言することにあたる。

170 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 11:28:18.61
選択公理は、「そういう写像が在る」ということを主張しているだけで、
「そういう写像が決まる」ことを言ってるのじゃないから、ラッセルの
例は、選択公理に対する反例(というのかな)にはならないのでは?

171 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 11:52:46.06
ラッセルのは反例というよりは、じゃあこの場合は本当に選択関数はあるの?という問いかけでしょう。あるというなら具体的に示して、と。
ヒルベルトの「神学」や、カントールの実無限に対する批判を見れば感じると思うけど、20世紀に抽象数学が発達する以前は具体的手段がないのに選択ができるというのは数学者のスタンダードから外れていた。
まだ選択公理批判が始まった頃はその感覚は相当残っていたんじゃないかと。

172 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 11:54:36.43
互いに素な(空でない)集合からなる(空でない)集合 から代表元を選び出すことの喩え
左右の区別がつかないので、一斉に左を選ぶというような方法で代表元を指定することはできない

173 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 11:55:55.92
急にポエム化が進んだな

174 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 11:58:12.67
おまえさんにはこれがポエムに見えるのか…

175 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 12:00:02.49
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな

176 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 12:09:37.12
整列してあれば当然問題ないけどそのような構造を与えてない怪しい可算集合なら安心できないというのもひとつの考え方。

177 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 12:12:04.46
>>174
完成された現代数学しか見てなきゃこんなもんだと思うよ。

178 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 12:40:09.79
ラッセルの靴下の例は選択公理の理解に有用だけど
「虚数集合」とか良く分からない用語を勝手に自分流で使ったりするのはアレだね
しかも集合論の話っぽくないし

179 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 12:44:05.45
行列を習ったばかりの高校生が、複素係数の行列も考えられるのでしょうか?
という趣旨の質問をしたと解釈

180 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 14:40:40.82
>>176
自然な整列ができない可算集合があるということ?

181 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 15:41:58.79
可算ということは自然数全体の集合からの1対1ontoな写像はあるはずだから、それを具体的に与えれば整列できるはず。ただ、写像がある、というだけだと、具体的には整列しようがない。

182 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 18:18:59.77
全単射があれば整列順序は得られるし
具体的な全単射があれば具体的な整列順序が得られるというだけの話じゃないの

183 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 18:35:34.96
>>182
>全単射があれば整列順序は得られるし

それができるというのがまさしく可算選択公理なわけで。つい当たり前と思ってしまうが、自明からはほど遠い話。

184 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 18:59:06.26
Xが可算集合であるとは全単射f:X→Nが存在することであり、
x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。

これだとどこか間違ってるの?

185 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 19:18:19.83
具体的な全単射が指定されていればそれで整列できるが、全単射があるというだけではそのように順序を与えることができない。

186 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 19:29:17.01
んん??
そうなのか?

Xが可算集合であるとは∃f(fはXからNへの全単射)のことであり、
x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。
したがってXは整列可能な集合である(変数fは消えた)。

上の論証でも、Nが整列集合であることの証明でも、選択公理を使っていない。

187 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 19:40:29.06
非可算無限ある全単射: X→N から一個の f を取り出すのはまさに選択公理でしょう

188 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 19:48:48.12
それは選択公理ではなく、ヒルベルトのchoice operatorというやつなのでは。
不定にchoiceされたfは最終的に消えるので「可算集合は整列可能である」は証明できたことになると思う。

189 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:06:02.05
何度繰り返しても選択公理を使ってないと思い込んでしまうくらい勘違いしやすいということだな。

190 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:15:35.89
>>188
fが消えるのと同時に X の順序を決める ≦ も消えてんだよ

191 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:17:33.68
非常に芳しいやりとりだ。

192 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:24:37.47
非可算集合は、選択公理のもとでも、整列可能だが、「具体的には整列
しようがない」のね?

193 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:30:21.36
>>192 実数の全体について言えば、その種の言明は正しい。

194 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:33:23.45
>>190
最終的な結論は「Xは整列可能である」、つまり∃R[ (X,R)は整列集合) ]だよ。
Rはただの束縛変数。
何の問題もないと思うけど。

195 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:34:16.61
>>193
「実数の全体」という限定は必要ないのでは?

なお、可算集合は、選択公理がなくても、整列可能

196 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:36:41.60
>>195 ω_1 のような非加算順序数の場合は?整列順序を、論理式
x∈y∨x=y で定義できると思うけど。

197 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:37:50.99
「芳しい」というより、「香ばしい」やりとりだな。
自然数の整列性は、自然数の定義にもよるだろうが、
普通の定義、例えばベアノの自然数なら、証明できる。
その上で、整列順序の存在は、
可算集合と自然数集合との全単射の存在と同値。
可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。

198 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:39:02.27
>>190
自然演繹の∃除去の規則を思い出せば分かると思うんだけど。

199 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:42:57.01
>可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。
可算整列は、数学的帰納法に過ぎない。
の間違い?

200 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:43:03.91
集合論の根幹を覆す主張がされてるなw

201 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 20:58:40.92
190はそもそも、fが消えるとか自然演繹とか、意味わかっとらんのやろ

202 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 21:06:39.40
>>183
可算選択公理 axiom of countable choice ってのは
A_n≠φ(n∈ω)のとき選択函数 f : N→∪A_n で f(n) ∈ A_nとなるものが存在する、
という主張のことを言うと思うんだけど。

https://www.google.co.jp/search?q=axiom+of+countable+choice

可算集合が整列できないなんていう変な主張のことじゃないよ。

一個以上あるものから一個を取り出すだけなら
(具体的なものを取れるかどうかは分からないけど)選択公理は要らない。

203 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 21:12:01.55
選択関数の存在に選択公理が要らないとな

204 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 21:16:21.36
>>203
だからそれ(存在量化された命題から、一つの実例を選び出す)は選択関数じゃないっての
選択公理とは、「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回行えることを保証する公理

205 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 21:20:20.28
「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回  しかも一括で  行えることを保証する公理

と言った方がいいかも

206 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 21:21:32.37
選択函数ってのは
空でない集合の族 F = {A_i} (i∈I), A_i ≠φがあったときに
f(i)∈A_i となるような函数
(つまり A_i たちからそれぞれ要素 f(i) をチョイスする函数)
のことを言う、という風に定義されてると思うけど。

選択函数とか或る集合が可算であるとか、可算選択公理とかの
定義を確認した方が良いと思う。

207 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 21:42:22.59
与えられた集合 X の整列順序を ZFC の具体的な論理式で書き下してくれとか、
与えられた、空でない集合族 (A_i)_{i∈I} (A_i ≠ φ)の
選択関数を具体的に構成してくれとか、そういう要求でないのかな?

208 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 22:07:51.00
そういう具体的に〜ってできるの?

209 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 22:13:21.67
たとえば、実数の全体の整列順序関係を、ZFC + GCH 内で具体的な論理式で
書き下すことが不可能なことは、すでに知られているよ。

210 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 22:14:55.10
>>192
バナッハタルスキの件も、「具体的には整列しようがない」非可算集合を整列しちゃう
ところから生じているの?

211 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 22:56:53.37
代表元が取り出せることだったような。まあ同じことか

212 :132人目の素数さん:2014/04/06(日) 23:29:06.35
ZFCZFCZFC

213 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 01:22:10.73
バナッハ・タルスキーは、体積が違う球体が作れてしまうのが
選択公理のせいではないことは分かっている

214 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 04:03:21.91
今までの議論ざっくり見ましたが,大学2,3年生ぐらいの議論という事ですか?
曖昧な表現や思い込み・勘違いな表現が多数見受けられましたが。

215 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 07:04:16.99
単に定義について勘違いをしてた人が居ただけ
まああまり高度なポイントではなくて
きちんと本に書いてある定義に則って話をするかどうかということだけど

216 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 07:07:01.78
選択公理→ハーンバナッハ→バナッハタルスキ
だから、選択公理のせいではないとは言えない

217 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 07:42:16.27
Banach-Tarskiの定理そのものはACが無いと証明できないけど
同じようにパラドクシカルな定理がAC無しに示せるので、
ACの関わっている部分はかなり微妙な部分になる
http://www.pnas.org/content/89/22/10726.full.pdf

218 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 10:22:44.34
>>215
定義の意味についての議論もあるね

219 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 10:24:54.67
ACがあれば証明されるけどACより弱い定理から導かれるのでACが必要というわけではなくAC無しでも証明できる

220 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 10:51:40.77
具体的にはどう弱い公理よ

221 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 11:25:50.58
>>220
>>216

222 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 11:39:57.09
サンクス

223 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 12:21:03.28
>>183を見る限り、定義の勘違いだけではなさそうだが…
本当は必要ないのに、特別な公理が必要だと思い違いをしてて、こっちの方が深刻

224 :132人目の素数さん:2014/04/07(月) 21:30:48.96
深刻にならずにやろうぜw

225 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 14:04:13.78
選択公理も含めて、どの公理もその独立性は直感的に明らかだと思うんだが、
独立だと思っていたら実は独立でなかったというような公理はなにかあったの?

226 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 19:16:43.07
ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK?

というか分出公理は置換公理から出て来るとか、
公理同士の依存関係は結構あるよ
分出公理や空集合の存在を除いても確か除いて良い公理があったような

227 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 19:30:17.10
> ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK?
そのつもり。+ ACも + not ACもどちらも直感的に矛盾しそうにない。
> というか分出公理は置換公理から出て来るとか
分出公理と置換公理は、むしろ直感的に等価だと感じる方に属する。

228 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 19:57:13.17
分出公理から置換公理は出ないから等価というのはおかしいよ。
置換公理の方が遥かに強い。

229 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 20:27:58.02
不用意だった。あなたの言うとおりだ。
ただ、置換公理->分出公理であることは、直感的にもわかりやすいよね。
一方、分出公理!->置換公理であることはオレにはすぐにはわからないのだが

230 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 20:36:40.99
> 分出公理!->置換公理であること



231 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 20:41:57.10
分出公理から置換公理は出ない

232 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 21:42:15.56
>>229
累積的階層のR(ω+ω)がZCのモデルになって
置換公理以外は分出も含めて成り立つけど置換公理は満たさない
特に順序数ω+ωが存在しない

「明らか」という言葉は簡単に証明できると言える場合以外使わない方が無難だと思う

233 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 22:18:53.70
僕は昔集合論を勉強し始まったころ、ZF から AC が証明できると思い込んで、
しかもそれが「直観的にも明らか」だと信じてしまっていた経験がある。

後でゲーデルやコーエンの理論を読んで、じっくり反省しました。

234 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 22:31:37.87
ブルバキの集合論ではACを証明してあるね

235 :132人目の素数さん:2014/04/10(木) 22:58:53.31
ちょっと初歩的な質問をさせて貰いますが,
「ACがZFから独立である事を証明するには,ZF+¬ACのモデルの存在を言えばいい」って言うのは何故ですか?

236 :132人目の素数さん:2014/04/11(金) 09:08:21.81
それだけじゃダメだけどな

237 :132人目の素数さん:2014/04/11(金) 09:15:05.52
>>233
それがあなたなりの根拠があってそう直感したということだったとしたら
おもしろいね。どういう根拠だったか知りたい。少なくとも、¬ACの独立性は
正しく直感していたということなわけだし。

>>234
なにか代わりの公理を入れて?

>>235
完全性定理

238 :132人目の素数さん:2014/04/11(金) 09:48:54.27
ブルバキのは確かR(x)を満たすxが存在するならその存在するもののうちひとつを表す記号(なければなんでもよい)
τ_xR(x)
があるので、これを用いれば選択関数が簡単に作れてしまうという、半ば反則的な方法をとっていたと思う。

239 :132人目の素数さん:2014/04/11(金) 10:34:19.41
それは選択関数そのものじゃないの?

240 :132人目の素数さん:2014/04/11(金) 10:57:11.65
そのものじゃないでしょ。でもすべてのx∈Xについてf(x)≠φならば、選択関数gが
g(x)=τ_y(y∈f(x))
で定義できる。

241 :132人目の素数さん:2014/04/11(金) 22:24:32.26
数理論理学的にはちょっと違うけどね。
たとえば選択公理を認めても選択函数はdefinableなもの
(上で言うところの「具体的」な函数)になるとは
限らないけど、ブルバキのτ(ι記号とも言う)を使。うなら
必ず論理式で具体的に書けるような関数になる

集合論は「明らか」だと思われるようなことに
実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う

242 :132人目の素数さん:2014/04/12(土) 07:59:17.41
キューネン『集合論』は、集合論の入門書ですか?それとももっとレベルが高いですか?

243 :132人目の素数さん:2014/04/12(土) 08:33:51.39
レベルが高い入門書です。
何年か前に30年近くぶりに新版が出て内容が一変してます。

244 :132人目の素数さん:2014/04/12(土) 09:08:55.59
ある程度集合論について知識持った方に聞きたいんですけど,
どの学年でどの程度の知識を持っているのが大体の相場なんでしょうか?
例えば, 学部○年で,松坂の集合位相入門の,濃度・順序数をほぼ完璧に理解。○年で,不完全性定理を理解。
修士or博士○年で強制法理解・・・・とか・・

245 :132人目の素数さん:2014/04/12(土) 09:57:40.99
位相もちゃんとやれよ

246 :132人目の素数さん:2014/04/12(土) 12:19:39.02
>>241
>集合論は「明らか」だと思われるようなことに
>実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
それは集合論に限ったことではないと思うのだが、どう?
それに、(これも一般に)微妙な点というのは弱みであることも多い
(むしろふつううはそう)と思うが、どう?

247 :132人目の素数さん:2014/04/14(月) 00:34:27.71
しかし研究対象がそもそもsubtleに出来ているのなら
それをそのままsubtleに(霊妙に、とでも訳せば良いのか)理解しないといけない。

Einstein曰く、"Subtle is the Lord, but malicious He is not."
神は霊妙ではかりがたい。だが悪意は持たない。

248 :132人目の素数さん:2014/04/14(月) 07:56:26.63
>>237
根拠となったのは、以下の主張です。

ZF の任意の可算モデルを M とします。以下、ZF の論理式A(x_1, ... , x_n)
は M に変数を持つものとして解釈します。M は可算だから、整列可能。従って、
任意の論理式 A(y, x_1, ... , x_n) と M の元の列 a_1, ... , a_n に対し、
A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在すれば、そのような y の最小限を
f(a_1, ... , a_n) とおき、A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在しなければ、
M の最小元を f(a_1, ... , a_n) とおきます。

こうすることによって、M 上の論理式には全てスコーレム関数が定義できるわけで、
M は ZFC のモデルとなります。

従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。

この論証の間違いを理解するのに、数ヶ月かかりました(笑)

249 :132人目の素数さん:2014/04/14(月) 17:37:54.29
様相論理って面白いんですか?
結構体系が別れていて,研究分野としての整理があんまり出来ていない感じがしてるんですけど

250 :132人目の素数さん:2014/04/14(月) 20:18:07.65
体系に番号や記号もそれぞれ振られているし整理はそれなりにされてると思う。。
ただ一言で様相と言っても我々の言語にはいろいろな種類の様相
(証明可能性、義務、知識、信念、……)があり得るので
そういったことに応じていろんな体系があるという感じに理解すると良いと思う。
唯一のthe 必然性がある訳じゃない。

251 :132人目の素数さん:2014/04/14(月) 21:07:35.27
>>248
ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ?
ここに書かれたことは、あなたにとってACは、それ自身他の論証の根拠として
つい使ってしまうほど自明のことであったということではないの?あなたが
ACを導いた根拠なのではないよね?

252 :132人目の素数さん:2014/04/14(月) 21:26:23.17
>ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ?
違うような。

ZFの可算モデルを取るときにACを使ってるけど、
「ZFの任意のモデルで〜〜が成り立つ。よってZF |- 〜〜」
を示す時にACを使うのは(あまり)問題が無い。

問題なのはMの住人が「Vは可算」だと信じていないといけないような証明になっているということ。

253 :132人目の素数さん:2014/04/14(月) 22:05:53.55
数か月考えてみるわ

254 :132人目の素数さん:2014/04/23(水) 10:24:05.52
V=L |- CH は、まあそうだろなと思うが、V=L |- ACの方は、なんでこの二つが
関係するのかと思ってしまうのだが、みなさんはどう?

255 :132人目の素数さん:2014/04/23(水) 14:16:15.81
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
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      |   |::/ / / |  | ||  | | ,ハ .| ,ハ|
      |   |/ / / /| ,ハノ| /|ノレ,ニ|ル' 
     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   
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      |      ` -'\       ー'  人           私は死なないわよ。
    |        /(l     __/  ヽ、            でも最近一寸太ったかしら。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、           Windows ver.10 で    
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            元の痩せた姿にしてよね。
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256 :132人目の素数さん:2014/04/23(水) 21:38:36.54
論理式を使って定義できるような対象しか存在しないなら
その定義のされ方に着目することで整列順序付けができてもおかしくは無いのかな、
というイメージはあるけど。

257 :132人目の素数さん:2014/04/24(木) 13:53:42.75
>>256
あっ、そうだね。
私がわからないのは、整列可能性 <-> AC の方かな?
これもそんなにおかしいことではない?

258 :132人目の素数さん:2014/04/24(木) 19:55:50.83
→は、考えている集合たちの要素たち全体を整列する。
あとはただ整列順序に関する a の最小要素を選べば(choiceすれば)良い。

←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで(choiceして)その次に小さい 1 番目の要素とする。
次に残りから……
次に残りから一つ要素を選んで ω 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで ω + 1 番目の要素とする。 ……
というのを残りが尽きるまでひたすら繰り返す。アイデアは簡単だが厳密に書くと結構分かりにくくなる。

259 :132人目の素数さん:2014/04/24(木) 20:52:34.66
>←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
>次に残りから…
こう言うと、これらの操作を順々にやるように聞こえるが、ACではもちろん、
これらの操作を一気に(同時に)やるんだよね。
たしかにアイデアは簡単だ。
なのにその独立性を示すのになんで強制法もようなテクニックがいるの?

260 :132人目の素数さん:2014/04/24(木) 21:02:21.77
>>259
整列可能性 <-> ACの証明と、ACの独立性証明に、何か関係が?

261 :132人目の素数さん:2014/04/24(木) 23:24:20.17
うん、それは関係ないとは思うが、
V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった?
そして、V=Lが独立なのは明らかだろうと思うのだが。

262 :132人目の素数さん:2014/04/25(金) 00:21:26.05
怪しい表現

263 :132人目の素数さん:2014/04/25(金) 09:30:08.22
not[ZF|-V=L], ZF|-(V=L->CH), ZF|-(V=L->AC) に比べて、
not[ZF|-AC] やnot[ZF|-not AC]を示すのが難しくなるのは
どうしてだろう?ということかな

264 :132人目の素数さん:2014/04/25(金) 09:33:35.56
数学において「明らか」とか「自明」という表現は
「あまりにも簡単に証明できるのでバカバカしくて書いてられない」という
意味です。

265 :132人目の素数さん:2014/04/25(金) 11:43:07.77
「同語反復レベルの簡単」から「天才には簡単」まで

266 :132人目の素数さん:2014/04/25(金) 12:07:12.74
文脈に応じていろんな明らかがあるよ

267 :132人目の素数さん:2014/04/25(金) 12:16:17.22
〜セミナーにて〜
優秀なA君「明らかです」
馬鹿なB君「明らかです」

意味が違う

268 :132人目の素数さん:2014/04/25(金) 14:38:57.25
日本語を理解できない馬鹿ばっかりなのかな?

269 :132人目の素数さん:2014/04/25(金) 20:19:13.41
ACの独立性などに比べると不完全性定理は自明な定理だと言っても264には注意されるのかな?

270 :132人目の素数さん:2014/04/25(金) 21:05:27.46
V=L → GCH → ACなので、
ZFからACが導けないなら当然V=Lも導けないが
逆を言うのはかなり困難だと思う。
>V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった?
これは何情報?

そもそもACを認めない時点で基数の一般論が
ちょっと工夫しないといけなくなるのでその時点で自明とは言い難い

271 :132人目の素数さん:2014/04/27(日) 13:47:36.65
松坂和雄の整列定理から選択公理を導くところだけど、整列集合にする順序関係
があるとしても、そのうちどれを選ぶのかということを指定するルールを明示しない
限り証明になっていない気がするんだけどあれでいいの?

272 :132人目の素数さん:2014/04/27(日) 13:57:37.42
>>181あたりからの書き込みを追ってみよう
彼と同じ勘違いをしてるみたいだから

273 :132人目の素数さん:2014/04/27(日) 13:59:12.71
同一人物だろ

274 :132人目の素数さん:2014/04/27(日) 14:41:00.77
Xを集合とし、X上の整列順序全体の集合を X’とする。
整列可能定理とは、任意の集合Xに対してX’≠φが成り立つということ。

選択公理とは、添え字付けられた空でない集合の族(A_λ|λ∈∧)に対して
Π_λ A_λ ≠ φが成り立つということ。

選択公理を証明するとはすなわち、単にΠ_λ A_λ ≠ φを示すことに他ならない。
Π_λ A_λ ≠ φを示すには、空でない集合YであってY⊂Π_λ A_λを満たすものを
1つ作れば十分である。

添え字付けられた空でない集合の族(A_λ|λ∈∧)は(∪_λ A_λ)’≠φを満たすとする。
写像 F:(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λを以下のように定める。
まず、ρ∈(∪_λ A_λ)’を任意に取る。このとき、(∪_λ A_λ, ρ)は整列集合である。
各λ∈∧に対して、f(λ):=min A_λとして写像 f :∧→∪_λ A_λを定める。
ただし、右辺のminは(∪_λ A_λ, ρ)におけるminとする。従って、このfはρごとに定まる。
F(ρ):=f として F(ρ) を定義すれば F(ρ):∧→∪_λ A_λである。
特にF(ρ)∈Π_λ A_λである。ρ∈(∪_λ A_λ)’だったから、以上より
写像 F:(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λが定義できた。
Y={ F(ρ)|ρ∈(∪_λ A_λ)’}と置けば、(∪_λ A_λ)’≠φにより Y ≠ φ である。
また、F:(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λにより Y ⊂ Π_λ A_λ である。
従って φ ≠ Y ⊂ Π_λ A_λ となったので、Π_λ A_λ≠φである。以上より、次が言えた。

・添え字付けられた空でない集合の族 (A_λ|λ∈∧) が (∪_λ A_λ)’≠φを満たすならば、
 Π_λ A_λ ≠ φである。

系:整列可能定理が成り立てば選択公理も成り立つ。

275 :271:2014/04/27(日) 14:45:43.56
>>272
いや、>>270の人が言っている疑問とは違くて、ある集合に適切な順序関係を加えれば整列集合とすることができるので
個々の部分集合から最小値を取り出せる、よってその最小値を取り出す操作を選択関数
とするって証明に書いてある。だけどその際適切な順序関係がたくさんある中からひとつを
選ぶ操作を指定しない限り選択関数を指定していることにならないと思うんだけどどうなんだろ。

276 :275:2014/04/27(日) 14:49:19.48
>>274
あ、分かった。ありがとう。そうか空でないと言えればそれでいいのか。

277 :132人目の素数さん:2014/04/27(日) 20:05:45.29
教科書にはそうとしか書いてないはずだけど、
整列可能の定義を何だと思ってたの?

278 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 01:29:11.69
公理論的集合論について予備知識なしで読める本を教えてください。
赤 攝也『集合論入門』(ちくま学芸文庫)は古すぎるでしょうか?

279 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 02:04:42.24
>>278
共立『Q&A数学基礎論入門』
文系学生対象の講義を元にした本らしい
一応ZFの公理系は書いてある

280 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 05:14:45.43
『復刊 公理論的集合論』西村 敏男・難波 完爾 (2013/4/2) 共立出版
この本はどうですか?

281 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 10:23:25.13
ZF+V=Lの無矛盾性の証明よりZF+not{V=L}の無矛盾性の証明の方がずっと
難しいのね?なぜ?

282 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 11:36:45.33
それぞれどうやって証明するのか考えたら、難易度の差は歴然だろう

283 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 14:36:22.88
どこが違うからなの?
歴史的には、ZF+not{V=L}の無矛盾性の証明はできることはわかっていたが、
どのように証明するかに手間取ったの?
人間版不完全性定理っていうのはないの?

284 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 16:22:19.89
「『数学上の問題を解くには方程式書いてコツコツやってもはじまらない。仏の境地に
達すれば何だってスラスラ解けるものだ』。こういう表現だったかどうか正確ではないが
確か(岡潔)先生はそういう意味のことをおっしゃったと思う」

--- 広中平祐

285 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 17:44:21.52
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286 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 21:48:52.72
>>280, 283
赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
(ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い)。

難波完爾先生の本は独特な味がある本だけど、初学者には難しい。

正直な所、Kunenを読む一歩手前の人に適当だと言えるような
水準の本は日本語ではなかなか無い。
「ゲーデルと20世紀の論理学」シリーズの四巻第一章が割とそれに近いか。

287 :132人目の素数さん:2014/04/28(月) 21:52:44.05
上のレスのアンカーは>>278>>280の間違い

>>283
具体的に構成したり定義したり出来るような対象は
必ずLに含まれるので、V=Lとその否定のどちらが正しそうかと
集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。

V=Lの無矛盾性は、実際にLの要素の集まりを考えて
それがZF+V=Lのモデルになっていることを示すだけで良いけど、
その否定の無矛盾性はその種のVを削るような方法では示せず、
モデルを拡大する操作が必要になる。

288 :132人目の素数さん:2014/04/29(火) 01:43:02.27
>>286
>赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
>公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
>素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
>(ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い)。

えっと、よくわからないですが、赤さんの文庫本は「学部レベルの素朴集合論の本」ではないんですね?
別の本で「学部レベルの素朴集合論」をやるべきということですね?具体的な書名をおしえてください。

289 :132人目の素数さん:2014/04/29(火) 12:53:55.74
公理論的集合論の本じゃないけど
学部レベルの素朴集合論の本だとは言っても良いんじゃないの?
このレベルの本はどれも大して優劣は無いからどれでも気にいった本で良いよ。

日本語の本で
諸定義、集合に関するブール演算、選択公理、濃度、順序数、
という順序で基本的なことを解説するパターンの本はどれでもほぼ同じ。

290 :132人目の素数さん:2014/04/29(火) 20:12:32.06
>>287の前半
>集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
>V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。
それは違うのじゃないかな?一般人(非専門家)はむしろ「世界は具体的
に構成したり定義したり出来るような対象だけとは限らないだろう」と
考えて、not{V=L}はあり得ることと考えるのではないか?「V=Lだ!」
とも言わないだろうが。つまり、一般人は、V=Lとnot(V=L)のどちらも
あり得ることだと直感しているのじゃないかな?

291 :132人目の素数さん:2014/04/30(水) 11:57:41.41
無矛盾性(独立性)を示すのに、モデルの存在を示すという方法でなく、
syntacticalにやる方法を書いたものってなにかありますか?

292 :132人目の素数さん:2014/04/30(水) 20:56:21.74
証明論の順序数解析の本とかにはそういう証明があるよ
たとえば新井敏康の数学基礎論の第八章(証明論の章)には
集合論KPの無矛盾性の統語論的証明がある

293 :132人目の素数さん:2014/04/30(水) 21:06:35.91
>>292
ありがとうございます。見てみます。(モデルの有無だけでは、なぜ無矛盾
なのかはわかりにくいと思ったので)

294 :132人目の素数さん:2014/05/01(木) 00:23:17.13
モデルが存在するならば無矛盾というのは
健全性定理という一つの定理

295 :132人目の素数さん:2014/05/01(木) 07:58:11.74
>>294
完全性定理ですね。それはわかっているのですが、
私が「なぜ」と言ったのは、「どういうしくみ・理由で」無矛盾なのかを知りたい
という意味でした。モデルの存在からは、「とにかく無矛盾」としかわからないと
思うので。

296 :132人目の素数さん:2014/05/01(木) 08:07:27.46
間違えました。健全性でした。

297 :132人目の素数さん:2014/05/01(木) 21:07:07.92
どういうも何も、定義上
M |- not φ は M |- φの否定と同値だから
矛盾した理論を解釈するモデルがあったら
意味論のレベルで矛盾律(Aかつnot Aとはならない)が
破綻してしまう。だから
矛盾律 ⇒ 矛盾した理論にはモデルは無い i.e. モデルがあるなら無矛盾
としか言いようがない気がする。

298 :132人目の素数さん:2014/05/01(木) 22:24:07.38
集合論の公理系に限らず、およそ公理系を設定する人は、まあ間違うこと
なく無矛盾で独立な公理系を設定するものだ。
そのとき彼らは必ずしもモデルの存在を確認してそれらの公理系を設定する
わけではないだろう(たとえばユークリッドも)。
ということは、モデルの存在というのは力ずくの最終確認手段に過ぎず、
無矛盾性や独立性を察知するもっと早い方法があるということなのじゃ
ないかな?

299 :132人目の素数さん:2014/05/01(木) 23:00:16.90
集合論の公理が独立?

300 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 01:05:46.05
フレーゲが最初に定義した述語論理の体系は矛盾していた。
チャーチの論理定数を含むラムダ計算の体系も矛盾していたため
数学の基礎付けに使おうという元の目的は達しなかった。
ラインハルト基数も矛盾していることが分かった対象の例。
およそ公理系を設定する人は〜というのは何を根拠に言ってるのか。

証明論的に無矛盾を示すためには、可算順序数で整列順序が複雑なものを
表記法を工夫して相当テクニカルに示さないといけないので
モデルを構成するよりも難しくて面倒で「もっと早い方法」とは到底言えない。

301 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 01:53:49.43
デブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ねデブ豚死ね
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302 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 09:17:05.88
>>300
まあ間違わないと言っただけで、間違う場合もあるでしょう。
それに、フレーゲ、チャーチの場合は(ラインハルトは知らないが)、
公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクスと言うべきと
思うのだが。
3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
わけだが、公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな?
少し前に議論されていたACなんかも、ACを一見しただけで、ZFからはそれ
(あるいはその否定)が出てくるはずはないと察知できるよね?

303 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 12:34:04.31
独りよがりの暴走が始まる

304 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 12:55:03.74
哲厨はこれだから

305 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 12:58:00.50
>3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
さすがクズ哲はあたまいいねー

306 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 13:11:47.00
数学を学ばないやつってある意味無敵

307 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 13:32:33.95
なんかウヨウヨわいてきたな

308 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 14:29:42.87
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1329138054/118

309 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 15:56:03.76
集合論を勉強しようというわけでもないのに集合論のテクニカルな部分を知りたがる

まともではない

310 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 21:31:12.78
>公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクス
述語論理のような論理学や言語の部分も公理や推論規則を立てて
形式的に扱うべきだ、というのがツェルメロ・フレンケル・スコーレムや
ゲーデル・ノイマン以後の集合論の考え方。
そうしないと、「きっと独立に違いない」とただ信じることは出来ても独立性を証明することはできない。

>公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな?
「或る程度」、多少はね。ただモデルがあるかどうかはっきりせず、
意味論を後から考えないといけないような場合には一般には難しい。

311 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 21:32:44.59
>ACを一見しただけで、ZFからはそれ
>(あるいはその否定)が出てくるはずはないと察知できるよね?
じゃあ例えば>>248
http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/561 の疑問にすぐに答えられる?
ここは集合論を勉強する上で初学者がかなり引っ掛かりやすいポイントで、
でも個人的にはかなり微妙で面白い部分だと思う。

実際にそういう察知が出来てればカントルはあんなに苦労してなかったはずだし、
(カントルやツェルメロの時代の数学者は>>>302に比べてバカばかりだったとでも言わない限り)
ツェルメロの公理系の選択公理に対する否定的反応も起こらなかったはず。
それにヒルベルトの23問題の第1問題は連続体仮説だけど、彼や当時のその他大勢の数学者は
連続体仮説が集合論の公理系から証明も否定もできない、という可能性は
あまり深刻に考えてなかったはずだよ。
それとも連続体仮説は証明できそうに思えても仕方ないが選択公理はそうではない、
と言えるに足る理由が何かある?

歴史をあまり知らないと後知恵で当然だと思ってしまうことも、
知識が無い段階でいざ証明しようとすると全く自明でないことがしばしばある。

ニュートン曰く、" If I have seen further it is by standing on ye sholders of Giants."
私がより遠くまで見渡せたとするならば、それは巨人の肩の上に乗っていたからだ。
"Dicebat Bernardus Carnotensis nos esse quasi nanos, gigantium humeris insidentes,
ut possimus plura eis et remotiora videre, non utique proprii visus acumine,
aut eminentia corporis, sed quia in altum subvenimur et extollimur magnitudine gigantea."
Bernard de Chartres(12C)

312 :132人目の素数さん:2014/05/06(火) 08:17:04.64
>>248
>ZF の任意の可算モデルを M とします。...
>従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。
ここは単に、Mが「任意のモデル」でないので完全性定理を適用できないだけではないの?

313 :132人目の素数さん:2014/05/06(火) 11:51:04.33
そこはレーヴェンハイム・スコーレムの下降定理から
非可算でACが成立しないモデルがあったら
可算でACが成立しないモデルも取れるから良いんじゃないの?

314 :132人目の素数さん:2014/05/06(火) 17:59:38.53
>>313
ゆっくり言ってくれる?

315 :132人目の素数さん:2014/05/06(火) 21:02:01.43
>>314
日本語はまだ苦手なの?

316 :132人目の素数さん:2014/05/06(火) 21:42:40.15
>>314
L-S-下降定理:
 言語 L 上の理論 T の任意のモデル M は
 濃度κ = max(|L|, ω)の初等部分構造 N < M を持つ。
 (とくにNとMは全ての閉論理式の真偽が同じになる。)

ZFの言語は可算だからκはアレフ0になる。

だから>>248の最初の文は
「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
とすれば、最後の部分も
「したがって M 内でACは真、したがって M' 内でACは真、したがって、完全性定理より」
とすれば通用する。
まあその間の部分に間違いがあるから結局ダメなんだけど。

317 :132人目の素数さん:2014/05/06(火) 22:12:52.18
モデルの濃度については、可算モデルの範囲でのみ考えていいんだよ。
完全性定理の証明を読んだことがあるならば、判るはずだ。

318 :132人目の素数さん:2014/05/06(火) 22:21:02.71
あ、ZF について言えばね。

319 :132人目の素数さん:2014/05/07(水) 23:53:49.21
わしらスコーレムのパラドックスからしてよう分からん
モデルの内外って分かりにくいわ

320 :132人目の素数さん:2014/05/08(木) 12:45:18.95
モデルの内外なんて難しいことを考えるとわからなくなるよ(教科書には
そう書いてあるものが多いが)。
無限公理とベキ集合公理を満足するモデルを空集合から始めて地道に構成
して行ってみればわかるよ。

321 :132人目の素数さん:2014/05/08(木) 12:56:17.36
>>316
>「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
ここでACを使っていないの?

322 :132人目の素数さん:2014/05/08(木) 20:00:37.74
集合論の言語は有限文字しかないから
論理式の集まりに整列順序を入れられる。
だからこの場合ACは無くても可算な初等部分構造を取れる。

323 :132人目の素数さん:2014/05/08(木) 20:02:56.41
というか
「Tからφが証明できる⇔Tの任意のモデルでφが真」
を示すのにACが必要だという話と、
TがACを含まないZFだという話は水準が違う話だから区別しないと。

324 :132人目の素数さん:2014/05/10(土) 12:19:33.56
>>322
それってV=Lを仮定した議論じゃない?

325 :132人目の素数さん:2014/05/10(土) 12:29:46.04
完全性定理の証明はV=Lを仮定していると言いたいの?

326 :132人目の素数さん:2014/05/10(土) 13:59:23.54
なんとまた、香ばしい話の展開だ。

327 :132人目の素数さん:2014/05/19(月) 18:51:54.49
>>298 >>300
遅レスだが、ZFCの公理の中では、正則性公理だけが(集合存在について)禁止的公理だ。
だから、正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明であるし、
正則性公理を除かない場合も、無矛盾性を示すには正則性公理だけに注意しておけばよい、
なんていうことはないの?w

328 :132人目の素数さん:2014/05/19(月) 21:44:07.11
>>327
> 禁止的公理だ。

「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は(お前の言う)禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。

> 正則性公理を除いた公理系が無矛盾であることはほぼ自明である

数学を学ばないやつってある意味無敵、の一例だな。

329 :132人目の素数さん:2014/05/19(月) 22:03:57.17
>「禁止的公理」ってなんだよ。任意の公理は(お前の言う)禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
どれか他の公理を禁止的に書いてみてくれるか?

330 :132人目の素数さん:2014/05/19(月) 22:30:20.09
数学村では定義がなされない自分用語を用いた質問を繰り返すと相手にされなくなる

331 :132人目の素数さん:2014/05/19(月) 23:07:50.97
正則性公理を使って ¬∃X∀x[x∈X] が証明されるから,
"禁止的"って言うニュアンスを込めたように,俺は読める。

332 :132人目の素数さん:2014/05/19(月) 23:18:31.10
>>330
>任意の公理は(お前の言う)禁止的にも非禁止的にも表現できるぞ。
こう言ってるかれ(きみか?)は、定義がわかってるはずだよw

333 :132人目の素数さん:2014/05/19(月) 23:28:21.81
脳内変換してくれる相手がたまたまいることに感謝しなさい。

334 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 06:49:17.17
例えば選択公理を禁止的公理の形に書きなおしてみてくれたまえ

335 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 07:59:09.38
選択公理は整列できない集合が存在しえないと言ってるんだから
禁止的じゃないのかとか言わると困るんじゃないのかと思うんだけどね。

それに任意の集合族に選択函数が存在するという選択公理と
任意の無限ゲームに必勝法が存在するという決定の公理は矛盾するし。

336 :334:2014/05/20(火) 08:58:02.97
任意の公理は禁止的には非禁止的にも表現できる

という>>328の主張に興味がわいたので質問しただけです。
>>328以外の方はスルーしてください。

337 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 09:49:10.26
流れからはずれるのですが、
正則性公理をはずすと、∃X∀x[x∈X] を公理に加えても矛盾しなくなり
ますが、これでなにかおもしろいことは起きるのでしょうか?
正則性公理をはずした時点で超集合論ができることは知っていますが。

338 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 16:15:54.35
まず公理が禁止的という表現の解説を頼む。

339 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 16:34:29.17
>> 334
任意の集合 B について、{A_λ}_{λ∈Λ} をどれも空集合でないような集合の族とすると、それらの直積が
(&prod;_{λ∈Λ}A_λ) ⊂ B となるような {A_λ} は存在しない。

340 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 16:42:19.35
>>339
馬鹿?

341 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 16:51:19.75
(´・ω・`)

342 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 16:52:07.48
(`・ω・´)

343 :132人目の素数さん:2014/05/20(火) 17:35:35.32
>まず公理が禁止的という表現の解説を頼む。
>>335によって粉砕された模様

344 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 01:35:15.00
>>343
~は存在しないという形ならなんでもいいんだ?

345 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 07:45:18.33
それなら「P(A)を満たすAが存在する」形式は「¬P(A)を満たすAが存在しない」と書き換えて終わる

346 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 09:12:28.34
>>345
はあ?

347 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 09:32:44.77
(´・ω・`)

348 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 10:45:12.28
>>337
∃X∀x[x∈X]を公理にすると分出公理からラッセル集合が作れるので正則公理無しでも矛盾します

349 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 11:12:37.03
なるほど。
∃X∀x[x∈X]で存在保証されたXをAとおいて、
B={x∈A|not(x∈x)}を考えれば不合理に陥りますね。
空集合の反対があってもよいのにと思ったのですが、
うまくいかないものですね。なぜでしょうか?w

350 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 11:36:40.54
空集合の逆なら、∃X∀x[¬(X∈x)]なのでは?
これならどうなる?

351 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 11:39:52.05
それは全然だめ。対公理に反する

352 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 11:39:57.73
X∈{X}

アンタ大丈夫か?

353 :132人目の素数さん:2014/05/21(水) 15:13:19.92
こんな超基本的なことも自分で分からないまま、
「証明は奴隷の仕事。俺は哲学徒だから物事を俯瞰的に観るのだ」などとほざいてんだろうなあ

354 :132人目の素数さん:2014/05/23(金) 18:48:04.97
奴は自分の脳内妄想の奴隷だってことを察してあげてwww

355 :132人目の素数さん:2014/05/23(金) 23:44:33.55
皆のコメをぼーっと見てたんだけど,博士課程以上のトークしている人も居れば,
集合論の話をブルーバックス程度で聞きかじった程度の知識で無知さらけ出してる人も居るようですね。

356 :132人目の素数さん:2014/05/24(土) 01:54:55.65
訳知り顔でしてないで、とっとと勉強始めたら?>>244=355

357 :132人目の素数さん:2014/05/24(土) 01:56:39.61
ID表示されてないのに何で同一人物って分かるの?

358 :132人目の素数さん:2014/05/24(土) 01:57:22.45
特徴的な句読点の使い方

359 :132人目の素数さん:2014/05/24(土) 20:03:39.03
>博士課程以上のトークしている人も居れば
居る?居ないと思うけど。

360 :132人目の素数さん:2014/05/24(土) 21:05:36.57
>>348
> 分出公理からラッセル集合が作れる

ラッセル集合って真のクラスであって集合の元にはならないから、
分出公理からラッセル集合は作れないと思うのだが

361 :132人目の素数さん:2014/05/25(日) 13:36:36.03
>>351-352
よくわからんが X∈{X} が成り立たないような X が存在してほしい、ってことなんじゃないの?
そのためには対集合を作る操作に制限をかけざるを得ないが。

362 :132人目の素数さん:2014/05/25(日) 13:59:00.40
>>360
>>349にある通り作れる

363 :132人目の素数さん:2014/05/25(日) 15:09:49.53
>>362
分出公理と内包公理をごっちゃにしてないか

364 :132人目の素数さん:2014/05/25(日) 15:14:39.07
わざわざ
>∃X∀x[x∈X] を公理に加え
と書くくらいなのだから
>>337は、Xをクラスではなく集合のつもりで書いてあるのでは?

365 :360:2014/05/25(日) 15:25:33.52
ああ、理解した。色々誤解してたすまん。

366 :132人目の素数さん:2014/05/25(日) 19:01:26.30
>>363=>>360なの?

367 :132人目の素数さん:2014/05/25(日) 20:51:09.33
>359
>>311はその道のプロ。
その他はだいたいふつうの愛好家。
集合論を学んでいるwことを特別なことのように思っている若い学生が少し居るw

368 :359:2014/05/25(日) 22:04:52.83
まあ>>311は俺が書いた訳なんだけど。

平均的な数学研究者よりは詳しいかもしれないけど
集合論の博士課程レベルの話じゃないよ。
学部には普通は集合論の講義は無いけど、
Kunen一冊読めば分かるレベルだからせいぜい修士初年級のレベル。

369 :132人目の素数さん:2014/05/25(日) 22:41:21.77
>>311 の一連のコメントがよいのは全体にopenな感じだからかな?
詳しいかどうかよりも。でもニュートンはいらんかったかな?w

370 :132人目の素数さん:2014/05/26(月) 01:19:31.61
やっぱりKunenは有名なんだな
カナモリの巨大基数挑戦したいしKunenも挑戦したい

371 :132人目の素数さん:2014/05/26(月) 09:52:15.77
今出てる版は日本語版より良いの?

372 :132人目の素数さん:2014/05/26(月) 10:05:42.00
KunenとAwodeyではどっちを勉強するのがよいでしょうか

373 :132人目の素数さん:2014/05/27(火) 00:26:05.59
いや分野違うし

ほとんど数学と文学どっちを勉強するのが良いですか?って質問に近いぞ

374 :132人目の素数さん:2014/05/27(火) 00:31:05.98
>>371
新版は、
・モデル理論などの或る程度の知識を前提としているので
その分self-containedではない
・その代わり旧版よりかなり議論が整理されている。
・旧版出版後に分かって来た事実についてかなりupdateされている。
・演習問題が、旧版では章末に纏められていたけど新版では本文の間に挿入されている
・旧版の演習問題は、訳者が解答集を作成している

375 :132人目の素数さん:2014/05/27(火) 10:46:25.65
>>373
そんなに違わんやろw
英語と独語のどっち、くらいの違いだがや
答えてやれよ

376 :132人目の素数さん:2014/05/27(火) 11:19:46.06
オレ的には躊躇なくKunen。Awodeyは時間を無駄にする可能性が大いにある。

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